A.6.4 Cas des variétés plongées

Sur une variété $\Sigma$ plongée dans ${\rm I\!R}^m$, de dimension $p$, une $1$-densité est, à l'instar de ce qui se passe sur un espace affine, une fonction associant à chaque point $P$ de $\Sigma$ une densité de poids $1$ sur l'espace tangent $T_P\Sigma$ à $\Sigma$ en ce point. Nous noterons ${\mathcal F}_1(\Sigma)$ l'espace vectoriel de ces densités.

En la comparant au champ de $1$-densités $\varphi_\Sigma$ induit par le produit scalaire $g_m$ de ${\rm I\!R}^m$, on voit qu'une $1$-densité $\xi$ sur $\Sigma$ s'écrit d'une seule façon sous la forme

$$\xi:P\mapsto f(P)\varphi_\Sigma$$

pour une certaine fonction $f:\Sigma\to {\rm I\!R}$. L'espace ${\mathcal F}_1(\Sigma)$ est ainsi canoniquement en bijection avec celui des foncions de $\Sigma$ dans ${\rm I\!R}$. Comme plus haut, on va utiliser cette fonction pour décider si $\xi$ est intégrable et calculer son intégrale lorsqu'elle existe. Il y a une différence importante. Elle tient au fait qu'il n'y a généralement pas moyen de paramétrer globalement $\Sigma$ à un ensemble négligeable près. En fait, on recouvre $\Sigma$ par des ouverts $\Omega_\alpha$ qui sont paramétrés par des applications $\psi_\alpha:U_\alpha\subset{\rm I\!R}^p\to{\rm I\!R}^m$, on choisit une partition de l'unité $\rho_\alpha$ subordonnée à ce recouvrement (supposé localement fini dans le cas où il est dénombrable) et on pose

$$\int_\Sigma\xi=\sum_\alpha\int_{U_\alpha}f_\alpha(u^1,\ldots,u^p)\sqrt{\det(\partial_k\psi_\alpha.\partial_l\psi_\alpha)}du^1\ldots du^p$$

où $f_\alpha$ est l'expression de $\rho_\alpha f$ dans le paramétrage décrivant $\Omega_\alpha$. Pour rappel,

$$\sqrt{\det(\partial_k\psi_\alpha.\partial_l\psi_\alpha)}$$

est la valeur de $\varphi_\Sigma$ sur la base de l'espace tangent en $P=\psi_\alpha(u^1,\ldots,u^p)$ formée par les $\partial_k\psi_\alpha$ (voir (24)). Dans l'intégrale ci-dessus, l'intégrand est donc la valeur de $\rho_\alpha\xi$ sur cette même base. L'indépendance aux différents choix de paramétrages est donc de nouveau une conséquence du comportement des densités sous l'effet d'un changement de base conjugué au théorème de changement de variables dans les intégrales. Il est facile de vérifier que l'expression est indépendante du choix de la partition de l'unité $\rho_\alpha$.

Lorsque $\Sigma$ est un arc régulier de courbe décrit par une application surjective $\gamma:I=]a,b[\to\Sigma$, on suppose que $\gamma$ est de classe $C^1$ dans $I$ et que sa dérivée $\gamma'$ ne s'annule en aucun point de $I$. Pour tout $t\in I$, c'est donc un paramétrage au voisinage de $t$. En utilisant ces paramétrages dans la construction qu'on vient de décrire, on montre alors assez facilement que

$$\int_\Sigma\xi=\int_If(\gamma(t))\vert\gamma'(t)\vert dt=\int_a^bf(\gamma(t))\vert\gamma'(t)\vert dt$$

la dernière égalité étant vraie pour autant que $a<b$.

Naturellement, profitant de l'existence de $\varphi_\Sigma$, on peut aussi introduire la notion de fonctions intégrables sur $\Sigma$. Ce sont les fonctions $f:\Sigma\to{\rm I\!R}$ telles que $f\varphi_\Sigma$ soit intégrable, l'intégrale d'une telle fonction étant alors

$$\int_\Sigma f d\sigma=\int_\Sigma f \varphi_\Sigma$$

En particulier, on peut introduire la notion d'ensemblse intégrables, à savoir ceux dont la fonction caractéristique est intégrable. La mesure (le "volume") d'un tel ensemble est alors l'intégrale de sa fonction caractéristique. Pour autant qu'il soit intégrable, $\Sigma$ admet une mesure, donnée par

$$mes(\Sigma)=\int_\Sigma d\sigma$$