En posant
, on transforme le système d'équations
ci-dessus en un système du premier ordre en les fonctions
et
.
Une solution de ces équations est déterminée par ses conditions
initiales. Cela revient à imposer les valeurs de
et de
en un point
. On peut alors établir la proposition suivante, dont nous ne
détaillerons pas la démonstration.
Le "mouvement" le long d'une géodésique est donc "uniforme" puisque
sa vitesse est d'intensité constante. De plus, cette propriété signifie
que le paramètre dont
dépend une géodésique est un multiple constant de l'abscisse
curviligne. Dailleurs, il est clair que,
étant un nombre non
nul,
est une
géodésique si et seulement si
en est une.
Sur un cylindre circulaire droit, les géodésiques dessinent des hélices circulaires. Cela résulte du fait que dans le paramétrage rappelé plus haut, les symboles de Christoffel sont nuls. En particulier les génératrices et les cercles contenus dans les plans perpendiculaires aux génératrices sont des géodésiques. En déroulant le cylindre sur un de ses plans tangents, on voit que ses géodésiques tracent des droites du plan. On aurait pu, inversement, déterminer les géodésiques du cylindre en utilisant le fait qu'il est développable.
Sur une sphère de
, ce sont les arcs de grand cercle,
rapportés aux multiples constants de l'abscisse curviligne, qui sont
les géodésiques.
En effet, "l'accélération" de toute courbe
se décompose
en ses parties tangentielle et normale
Revenons au cas général. On peut montrer que s'ils sont assez
voisins, deux points de
sont les extrémités d'un seul
arc de géodésique dont la longueur est la plus petite des longueurs des arcs qu'ils délimitent
sur des courbes tracées sur
. On définit alors la distance séparant
et
comme étant la longueur de cet arc de géodésique.
La première forme fondamentale d'une variétéplongée dans
est définie comme dans le cas des hypersurfaces: en chaque point, c'est aussi la restriction du produit scalaire de
au sous-vectoriel directeur de l'espace tangent à
en ce point. La longueur d'un arc de courbe de
est semblablement donnée par la même formule que pour un arc de courbe d'une hypersurface. Pour tous points
, on note alors
la meilleure borne inférieure des longueurs des arcs que ces points délimitent sur des courbes tracées sur
. On peut montrer que
est une distance suret que la topologie d'espace métrique(6.5) de
est la topologie induite par
sur
.