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Les variétés plongées possèdent une
famille de courbes distinguées, les géodésiques, qui sont aux
variétés courbes ce que les
droites sont aux espaces euclidiens. Pour définir celles-ci dans le
cas d'une hypersurface, nous allons adopter un point de vue
"mécaniste", la mécanique à
laquelle nous nous référons étant la mécanique classique. D'après le
principe d'inertie, un point matériel qui n'est soumis à aucune force
est animé d'un
mouvement rectiligne et uniforme. Selon la seconde loi de
Newton, l'accélération est proportionnelle à la résultante des forces
qui s'exercent sur le
point matériel, son accélération est alors nulle. Si ce point est
astreint à se déplacer sur une surface, cela revient à supposer que
cette accélération est
normale à celle-ci en tout point. En effet, d'après le principe
d'action/réaction, la force qui pourrait résulter de cette composante
de l'accélération est
neurtalisée par une réaction opposée maintenant le point sur la
surface. Forts de cette image, nous appelons géodésique de
toute courbe
tracée sur dont "l'accélération"
est
constamment normale à :
Dans la proposition suivante, les notations sont celles adoptées au
paragraphe précédent.
Proposition 38
Une courbe
de
est une
géodésique si et seulement si
est une solution du système d'
équations différentielles
Dérivons la relation (12). Il vient
|
(6.2) |
D'après les équations de structures, la composante parallèle à
de cette
expression est
D'où la proposition.
En posant
, on transforme le système d'équations
ci-dessus en un système du premier ordre en les fonctions et
.
Une solution de ces équations est déterminée par ses conditions
initiales. Cela revient à imposer les valeurs de et de
en un point
. On peut alors établir la proposition suivante, dont nous ne
détaillerons pas la démonstration.
Corollaire 39
Soient
et
. Il existe une seule
(
6.4) géodésique
telle que
et
.
Proposition 40
Si
est une géodésique de
, alors
est constant.
En effet, la dérivée de
est
.
Elle est donc nulle puisque
est normal à en et
lui est tangent en ce point.
Le "mouvement" le long d'une géodésique est donc "uniforme" puisque
sa vitesse est d'intensité constante. De plus, cette propriété signifie
que le paramètre dont
dépend une géodésique est un multiple constant de l'abscisse
curviligne. Dailleurs, il est clair que, étant un nombre non
nul, est une
géodésique si et seulement si
en est une.
Sur un cylindre circulaire droit, les géodésiques dessinent des
hélices circulaires. Cela résulte du fait que dans le paramétrage
rappelé plus haut, les symboles
de Christoffel sont nuls. En particulier les génératrices et les
cercles contenus dans les plans perpendiculaires aux génératrices
sont des géodésiques. En
déroulant le cylindre sur un de ses plans tangents, on voit que ses
géodésiques tracent des droites du plan. On aurait pu, inversement,
déterminer les géodésiques
du cylindre en utilisant le fait qu'il est développable.
Sur une sphère de
, ce sont les arcs de grand cercle,
rapportés aux multiples constants de l'abscisse curviligne, qui sont
les géodésiques.
En effet, "l'accélération" de toute courbe
se décompose
en ses parties tangentielle et normale
où
, est la courbure de et
sont sa tangente unitaire et sa normale principale
respectivement.
Par conséquent, si est constant,
est parallèle à
. Or il se fait que la normale principale à un grand cercle est
toujours normale à la
sphère puisqu'il est contenu dans un plan diamétral. Par conséquent,
les grand cercles sont des géodésiques pourvu qu'ils soient
paramétrés par un multiple de
l'abscisse curviligne. Comme par un point, il passe toujours un grand
cercle tangent à une direction quelconque de la sphère en ce point,
il n'y a pas d'autres
géodésiques.
Revenons au cas général. On peut montrer que s'ils sont assez
voisins, deux points de sont les extrémités d'un seul
arc de géodésique dont la longueur est la plus petite des longueurs des arcs qu'ils délimitent
sur des courbes tracées sur . On définit alors la distance séparant et comme étant la longueur de cet arc de géodésique.
La première forme fondamentale d'une variété plongée dans
est définie comme dans le cas des hypersurfaces: en chaque point, c'est aussi la restriction du produit scalaire de
au sous-vectoriel directeur de l'espace tangent à en ce point. La longueur d'un arc de courbe de est semblablement donnée par la même formule que pour un arc de courbe d'une hypersurface. Pour tous points , on note alors la meilleure borne inférieure des longueurs des arcs que ces points délimitent sur des courbes tracées sur . On peut montrer que
est une distance sur et que la topologie d'espace métrique(6.5) de est la topologie induite par
sur .
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