A.6.1 Cas d'un espace affine

Soit un espace affine ${\mathcal E}$ modelé sur $E$. Par définition, un champs de $1$-densités (pour abréger, on dira encore une $1$-densité) sur ${\mathcal E}$ est une application $P\mapsto \xi_P$ de ${\mathcal E}$ dans ${\mathcal F}_1(E)$. Si nécessaire, nous noterons ${\mathcal F}_1({\mathcal E})$ l'espace des champs de $1$-densités de ${\mathcal E}$.

Dans un repère ${\mathcal R}=(O,{\bf b})$ de ${\mathcal E}$, d'origine $O\in{\mathcal E}$ et de base ${\bf b}\in{\mathcal B}(E)$, un champs de $1$-densités $\xi$ est comlètement décrit par la fonction

$$\xi_{\mathcal R}:{\bf x}=(x^1,\ldots,x^m)\in{\rm I\!R}^m\mapsto \xi_{P({\bf x})}({\bf b})\in{\rm I\!R}$$

où, par commodité, nous avons désigné par $P({\bf x})$ le point $O+{\bf b}({\bf x})$ de coordonnées ${\bf x}$ dans ce repère. Cette fonction n'est autre que la fonction $P\in{\mathcal E}\mapsto \xi_P({\bf b})\in{\rm I\!R}$ exprimée au moyen des coordonénes cartésiennes définies par ${\mathcal R}$.

Lemme 75   Soit un champ de $1$-densités $\xi$ de ${\mathcal E}$. Les expressions $\xi_{\mathcal R}$ et $\xi_{{\mathcal R}'}$ de $\xi$ dans des repères ${\mathcal R}$ et ${\mathcal R}'$ de ${\mathcal E}$ sont simultanément intégrables ou non sur ${\rm I\!R}^m$ et, quand elles le sont, leurs intégrales sont égales.

Notons ${\bf x}$ et ${\bf y}$ les coordonnées cartésiennes d'un point $P$ relatives aux repères ${\mathcal R}=(O,{\bf b})$ et ${\mathcal R}'=(O'=O+{\bf a},{\bf b}'={\bf b}.S)$ respectivement. On doit avoir

$$P=O+{\bf b}({\bf x})=O'+{\bf b}'({\bf y})=O+{\bf a}+{\bf b}(S({\bf y}))$$

En conséquence,

$${\bf x}={\bf b}^{-1}({\bf a})+S({\bf y}).$$

Dès lors

$$\xi_{{\mathcal R}'}({\bf y})=\xi_P({... ...R}({\bf x})=\vert\det S\vert\xi_{\mathcal R}({\bf b}^{-1}({\bf a})+S({\bf y}))$$

La conclusion résulte alors immédiatement du théorème de changement de variables dans les intégrales.

Grâce à ce lemme, nous pouvons dire que $\xi\in{\mathcal F}_1({\mathcal E})$ est intégrable si son expression $\xi_{\mathcal R}$ dans un certain repère ${\mathcal R}$ (donc dans tous les repères) de ${\mathcal E}$ est intégrable sur ${\rm I\!R}^m$ et, quand c'est le cas, nous pouvons aussi définir l'intégrale de $\xi$ comme étant le nombre

$$\int_{\mathcal E}\xi=\int_{{\rm I\!R}^m}\xi_{\mathcal R}(x^1,\ldots,x^m)dx^1\cdots dx^m$$

Comme dans ${\rm I\!R}^m$, on peut aussi introduire la notion de densité intégrable sur un ensemble $e\subset {\mathcal E}$ et définir les intégrales d'un champs de densités $\xi$ sur $e$. Par définition, c'est l'intégrale de la $1$-densité $\chi_e\xi$, où $\chi_e$ est la fonction caractéristique de $e$,

$$\int_e\xi=\int_{\mathcal E}\chi_e\xi$$

si elle existe.