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A.6.1 Cas d'un espace affine

Soit un espace affine $ {\mathcal E}$ modelé sur $ E$. Par définition, un champs de $ 1$-densités (pour abréger, on dira encore une $ 1$-densité) sur $ {\mathcal E}$ est une application $ P\mapsto \xi_P$ de $ {\mathcal E}$ dans $ {\mathcal F}_1(E)$. Si nécessaire, nous noterons $ {\mathcal F}_1({\mathcal E})$ l'espace des champs de $ 1$-densités de $ {\mathcal E}$.

Dans un repère % latex2html id marker 23158
$ {\mathcal R}=(O,{\bf b})$ de $ {\mathcal E}$, d'origine $ O\in{\mathcal E}$ et de base % latex2html id marker 23164
$ {\bf b}\in{\mathcal B}(E)$, un champs de $ 1$-densités $ \xi$ est comlètement décrit par la fonction

% latex2html id marker 23170
$\displaystyle \xi_{\mathcal R}:{\bf x}=(x^1,\ldots,x^m)\in{\rm I\!R}^m\mapsto \xi_{P({\bf x})}({\bf b})\in{\rm I\!R}
$

où, par commodité, nous avons désigné par % latex2html id marker 23172
$ P({\bf x})$ le point % latex2html id marker 23174
$ O+{\bf b}({\bf x})$ de coordonnées % latex2html id marker 23176
$ {\bf x}$ dans ce repère. Cette fonction n'est autre que la fonction % latex2html id marker 23178
$ P\in{\mathcal E}\mapsto \xi_P({\bf b})\in{\rm I\!R}$ exprimée au moyen des coordonénes cartésiennes définies par $ {\mathcal R}$.

Lemme 75   Soit un champ de $ 1$-densités $ \xi$ de $ {\mathcal E}$. Les expressions $ \xi_{\mathcal R}$ et $ \xi_{{\mathcal R}'}$ de $ \xi$ dans des repères $ {\mathcal R}$ et $ {\mathcal R}'$ de $ {\mathcal E}$ sont simultanément intégrables ou non sur % latex2html id marker 23201
$ {\rm I\!R}^m$ et, quand elles le sont, leurs intégrales sont égales.

Notons % latex2html id marker 23203
$ {\bf x}$ et % latex2html id marker 23205
$ {\bf y}$ les coordonnées cartésiennes d'un point $ P$ relatives aux repères % latex2html id marker 23209
$ {\mathcal R}=(O,{\bf b})$ et % latex2html id marker 23211
$ {\mathcal R}'=(O'=O+{\bf a},{\bf b}'={\bf b}.S)$ respectivement. On doit avoir

% latex2html id marker 23213
$\displaystyle P=O+{\bf b}({\bf x})=O'+{\bf b}'({\bf y})=O+{\bf a}+{\bf b}(S({\bf y}))
$

En conséquence,

% latex2html id marker 23215
$\displaystyle {\bf x}={\bf b}^{-1}({\bf a})+S({\bf y}).
$

Dès lors

% latex2html id marker 23217
$\displaystyle \xi_{{\mathcal R}'}({\bf y})=\xi_P({...
...R}({\bf x})=\vert\det S\vert\xi_{\mathcal R}({\bf b}^{-1}({\bf a})+S({\bf y}))
$

La conclusion résulte alors immédiatement du théorème de changement de variables dans les intégrales.


Grâce à ce lemme, nous pouvons dire que $ \xi\in{\mathcal F}_1({\mathcal E})$ est intégrable si son expression $ \xi_{\mathcal R}$ dans un certain repère $ {\mathcal R}$ (donc dans tous les repères) de $ {\mathcal E}$ est intégrable sur % latex2html id marker 23227
$ {\rm I\!R}^m$ et, quand c'est le cas, nous pouvons aussi définir l'intégrale de $ \xi$ comme étant le nombre

% latex2html id marker 23231
$\displaystyle \int_{\mathcal E}\xi=\int_{{\rm I\!R}^m}\xi_{\mathcal R}(x^1,\ldots,x^m)dx^1\cdots dx^m
$

Comme dans % latex2html id marker 23233
$ {\rm I\!R}^m$, on peut aussi introduire la notion de densité intégrable sur un ensemble $ e\subset {\mathcal E}$ et définir les intégrales d'un champs de densités $ \xi$ sur $ e$. Par définition, c'est l'intégrale de la $ 1$-densité $ \chi_e\xi$, où $ \chi_e$ est la fonction caractéristique de $ e$,

$\displaystyle \int_e\xi=\int_{\mathcal E}\chi_e\xi
$

si elle existe.


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