suivant: A..6.2 Mesure des parallélotopes
monter: A..6 Densités et intégration
précédent: A..6 Densités et intégration
  Table des matières
Soit un espace affine
modelé sur . Par définition, un champs de -densités (pour abréger, on dira encore une -densité) sur
est une application
de
dans
. Si nécessaire, nous noterons
l'espace des champs de -densités de
.
Dans un repère
de
, d'origine
et de base
, un champs de -densités est comlètement décrit par la fonction
où, par commodité, nous avons désigné par
le point
de coordonnées dans ce repère. Cette fonction n'est autre que la fonction
exprimée au moyen des coordonénes cartésiennes définies par
.
Lemme 75
Soit un champ de
-densités
de
.
Les expressions
et
de
dans des repères
et
de
sont simultanément intégrables ou non sur
et, quand elles le sont, leurs intégrales sont égales.
Notons et les coordonnées cartésiennes d'un point relatives aux repères
et
respectivement. On doit avoir
En conséquence,
Dès lors
La conclusion résulte alors immédiatement du théorème de changement de variables dans les intégrales.
Grâce à ce lemme, nous pouvons dire que
est intégrable si son expression
dans un certain repère
(donc dans tous les repères) de
est intégrable sur
et, quand c'est le cas, nous pouvons aussi définir l'intégrale de comme étant le nombre
Comme dans
, on peut aussi introduire la notion de densité intégrable sur un ensemble
et définir les intégrales d'un champs de densités sur . Par définition, c'est l'intégrale de la -densité , où est la fonction caractéristique de ,
si elle existe.
suivant: A..6.2 Mesure des parallélotopes
monter: A..6 Densités et intégration
précédent: A..6 Densités et intégration
  Table des matières