5.2.2 L'algèbre de Lie de $G$

L'espace ${\mathcal G}$ est doté d'une structure particulière qui reflète la multiplication de $G$.

Proposition 28   Le commutateur $[H,K]=HK-KH$ d'éléments $H,K$ de ${\mathcal G}$ est toujours un élément de ${\mathcal G}$.

Vu les propriétés 25 et 26, pour tout $t\in{\rm I\!R}$, $e^{tH}Ke^{-tH}$ appartient à l'espace vectoriel ${\mathcal G}$. La dérivée par rapport à $t$ de cette expression en $t=0$ est donc aussi un élément de ${\mathcal G}$. Comme celle de $e^{tH}$ est $H$, la règle de Leibnitz montre que cette dérivée est $[H,K]$. $\qedsymbol$

ARRAY(0x8d75ed0)