A.2.2 Action de $GL(m,{\rm I\!R})$ sur les bases de $E$

Nous noterons ${\mathcal B}(E)$ l'ensemble des bases de $E$. L'ensemble des bases de ${\rm I\!R}^m$ n'est autre que l'ensemble des bijections linéaires de ${\rm I\!R}^m$ sur lui-même. C'est donc un groupe pour la composition des applications. Il est d'habitude désigné par $GL(m,{\rm I\!R})$ et on note $ST=S\circ T$ sa multiplication. L'ensemble ${\mathcal B}(E)$ n'est pas un groupe. Par contre, $GL(m,{\rm I\!R})$ opère dessus à droite par l'action

$$({\bf b},S)\mapsto {\bf b}.S:={\bf b}\circ S$$

En effet, ${\bf b}.(ST)=({\bf b}.S).T={\bf b}\circ S\circ T$. De plus, cette action est transitive et libre car si ${\bf b},{\bf b}'\in{\mathcal B}(E)$, alors il existe un unique $S\in GL(m,{\rm I\!R})$ pour lequel ${\bf b}'={\bf b}.S$, à savoir ${\bf b}^{-1}\circ{\bf b}'$.