3.1.2 Classification des quadriques de ${\rm I\!R}^3$

Nous n'aborderons que très succintement la classification des quadriques(^3.1). L'application $A$ étant symétrique, on peut trouver une base dans laquelle elle est représentée par une matrice diagonale. Ainsi, un changement linéaire de coordonnées donne à $Q$ une équation de la forme

$$\sum_{i=1}^m\alpha_i(x^i)^2+2\sum_{i=1}^m\beta_ix^i+\gamma=0$$ (3.1)

que des changements de coordonnées affines supplémentaires permettent de simplifier jusqu'à l'obtention d'une forme canonique caractéristique de la quadrique.

Si, dans (4), $\alpha_i$ est non nul, alors on peut supposer que le coefficient $\beta_i=0$.

En effet, les termes de (4) où figure $x^i$ s'écrivent

$$\alpha_i(x^i)^2+2\beta_ix^i=\alpha_i(x^i+\frac{\beta_i}{\alpha_i})^2-\frac{\beta_i^2}{\alpha_i}$$

Le changement de coordonnées dans lequel $x^i$ est remplacé par $x^i+\frac{\beta_i}{\alpha_i}$, une translation, annule $\beta_i$, modifie $\gamma$ mais ne change aucun autre coefficient de (4).

Ceci nous ramène à une équation du type

$$\sum_{i\in I}\alpha_i(x^i)^2+2\sum_{j\in J}\beta_jx^j+\gamma=0$$ (3.2)

dans laquelle aucun des $\alpha_i, \beta_j$ n'est nul et les ensembles d'indices $I,J\subset\{1,...,m\}$ sont disjoints.

Le premier n'est pas vide car $A\neq 0$. Quitte à permuter les $x^i$(^3.2), on peut donc supposer que $I=\{1,...,p\}$. Le nombre $p$ est le rang de $A$. Si $J\neq\emptyset$, alors on peut faire en sorte que $J=\{p+1\}$ et $\gamma=0$.

De fait, si $\beta_k\neq 0$, le changement de coordonnées dans lequel $x^k$ est remplacé par

$$2\sum_{j\in J}\beta_jx^j+\gamma$$

substitue $x^k$ à ces termes dans (5). Au prix d'une permutation des coordonnées, on peut de plus supposer que $k=p+1$.

En fin de compte, on est ramené à trois sortes d'équations. Elles décrivent trois familles disjointes de quadriques. La première correspond à $J=\emptyset$ et $\gamma\neq 0$ et contient les quadriques ayant un centre et pas de point double. La deuxième correpond à $J=\{p+1\}$ et contient les quadriques n'ayant pas de centre. La dernière contient les quadriques ayant un point double. Elle est caractérisée par $J=\emptyset$ et $\gamma=0$.

Un cylindre est une union de droites parallèles à une direction donnée, ses génératrices. Les solutions d'un système d'équations $F:{\rm I\!R}^m\to {\rm I\!R}^q$ ne dépendant pas de variables $x^i, i\in K,$ forment un cylindre admettant des génératrices parallèles à toute combinaison linéaire ${\bf u}$ des $\overrightarrow{e}_i,i\in K,$ car, si $F(a)=0$ alors $F(a+t{\bf u})=0$ pour tout $t$.

Une quadrique $Q$ pour laquelle $p<m$ et $J=\emptyset$, ou $p<m-1$ et $J\neq\emptyset$ est donc un cylindre. Le nombre $m-p$, ou $m-p-1$ selon les cas est la dimension de l'espace des directions cylindriques de $Q$. Ce sont les directions auxquelles sont parallèles des génératrices de $Q$.

Dans ${\rm I\!R}^3$, si on s'en tient aux quadriques non vides qui ne sont ni des cônes ni des cylindres, alors il reste cinq sortes de quadriques.

Ellipsoïde

Hyperboloïdes à une nappe et à deux nappes

Paraboloïdes elliptique et hyperbolique

Les trois premières sont des quadriques à centre: ellipsoïde, hyperboloïde à une nappe et hyperboloïde à deux nappes. Elles admettent les équations canoniques respectives

$$% latex2html id marker 17579\left\{ \begin{array}{ccc} \fr... ...2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}&=&1 \end{array}\right.$$

Les deux autres sont des quadriques sans centre: paraboloïde elliptique et paraboloïde hyperbolique dont les équations canoniques sont

$$% latex2html id marker 17581\left\{ \begin{array}{ccc} \fr... ...[1ex] \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}&=&2pz \end{array}\right.$$

respectivement. Dans ces expressions, $a,b,c,p$ sont des nombres positifs.