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On note le sous-groupe de
formé des matrices orthogonales. C'est le groupe des
isométries (ayant 0 comme
point fixe) de
. L'application
prend ses valeurs
dans l'espace
des matrices
symétriques. Son application linéaire tangente en est
donnée par
Son noyau est donc formé des matrices pour lesquelles
est antisymétrique. Comme
est la somme directe de
et de l'espace
des matrices antisymétriques, lorsque , le
rang de est donc
. Par conséquent,
est une variété
plongée de dimension
dans
.