next up previous contents
suivant: 3.2.5 Le groupe des monter: 3.2 Groupes de matrices précédent: 3.2.3 Le groupe unimodulaire   Table des matières

3.2.4 Le groupe orthogonal

On note $ O(p)$ le sous-groupe de % latex2html id marker 17643
$ GL(p,{\rm I\!R})$ formé des matrices orthogonales. C'est le groupe des isométries (ayant 0 comme point fixe) de % latex2html id marker 17646
$ {\rm I\!R}^p$. L'application % latex2html id marker 17648
$ F:A\in
gl(p,{\rm I\!R})\mapsto\tilde{A}A-{\bf 1}\in gl(p,{\rm I\!R})$ prend ses valeurs dans l'espace % latex2html id marker 17650
$ gl(p,{\rm I\!R})_s$ des matrices symétriques. Son application linéaire tangente en $ A\in O(p)$ est donnée par

$\displaystyle F_{*A}H=(\tilde{A}H)\ \tilde{} +\tilde{A}H=(A^{-1}H)\
\tilde{}+A^{-1}H.
$

Son noyau est donc formé des matrices $ H$ pour lesquelles $ A^{-1}H$ est antisymétrique. Comme % latex2html id marker 17660
$ gl(p,{\rm I\!R})$ est la somme directe de % latex2html id marker 17662
$ gl(p,{\rm I\!R})_s$ et de l'espace % latex2html id marker 17664
$ gl(p,{\rm I\!R})_a$ des matrices antisymétriques, lorsque $ A\in O(p)$, le rang de $ F_{*A}H$ est donc % latex2html id marker 17670
$ \dim gl(p,{\rm I\!R})_s$. Par conséquent, $ O(p)$ est une variété plongée de dimension % latex2html id marker 17674
$ \dim gl(p,{\rm I\!R})_a=p(p-1)/2$ dans % latex2html id marker 17676
$ gl(p,{\rm I\!R})$.