3.2.4 Le groupe orthogonal

On note $O(p)$ le sous-groupe de $GL(p,{\rm I\!R})$ formé des matrices orthogonales. C'est le groupe des isométries (ayant 0 comme point fixe) de ${\rm I\!R}^p$. L'application $F:A\in gl(p,{\rm I\!R})\mapsto\tilde{A}A-{\bf 1}\in gl(p,{\rm I\!R})$ prend ses valeurs dans l'espace $gl(p,{\rm I\!R})_s$ des matrices symétriques. Son application linéaire tangente en $A\in O(p)$ est donnée par

$$F_{*A}H=(\tilde{A}H)\ \tilde{} +\tilde{A}H=(A^{-1}H)\ \tilde{}+A^{-1}H.$$

Son noyau est donc formé des matrices $H$ pour lesquelles $A^{-1}H$ est antisymétrique. Comme $gl(p,{\rm I\!R})$ est la somme directe de $gl(p,{\rm I\!R})_s$ et de l'espace $gl(p,{\rm I\!R})_a$ des matrices antisymétriques, lorsque $A\in O(p)$, le rang de $F_{*A}H$ est donc $\dim gl(p,{\rm I\!R})_s$. Par conséquent, $O(p)$ est une variété plongée de dimension $\dim gl(p,{\rm I\!R})_a=p(p-1)/2$ dans $gl(p,{\rm I\!R})$.