A.6.3 Cas des espaces euclidiens

Lorsque $E$ est muni d'un produit scalaire, ${\mathcal E}$ est un espace affine euclidien. Il est automatiquement muni d'un champ de $1$-densités, le champ de valeur constante $\varphi_g$ dont il vient d'être question. Comme ce dernier fournit une base des densités de $E$, les $1$-densités sur ${\mathcal E}$ sont exactement les applications de la forme

$$\xi_f=P\mapsto f(P)\varphi_g$$

où $f$ décrit l'ensemble des fonctions de ${\mathcal E}$ dans ${\rm I\!R}$. Puisque, sur les bases orthonormées, $\varphi_g$ prend la valeur $1$, l'expression de $\xi_f$ dans un repère orthonormé ${\mathcal R}$ de ${\mathcal E}$ coïncide avec l'expression

$$f_{\mathcal R}:{\bf x}\mapsto f(P({\bf x}))$$

de $f$ dans ce repère. On est ainsi amené à confondre les fonctions sur ${\mathcal E}$ avec ses $1$-densités et à parler de fonctions intégrables et de leurs intégrales. Il ne faut cependant pas perdre de vue que les fonctions, comme telles, ne peuvent pas être intégrées sur ${\mathcal E}$: lors d'un changement de repères arbitraires, leurs expressions ne se comportent pas en accord avec le théorème de changement de variables dans les intégrales.