4.3.3 $SO(3)$ et l'espace projectif ${\rm I\!P}^3{\rm I\!R}$

Tout quaternion $q$ admet une décomposition polaire $q=\vert q\vert(\cos\theta+h\sin\theta$), où $h$ est un quaternion tel que $h^2=-1$. Si $q\ne 0$ et si $q/\vert q\vert=a+ib+jc+kd$ alors cette décomposition est déterminée par les relations $a=\cos\theta$ et $\sqrt{b^2+c^2+d^2}=\sin\theta$. L'argument $\theta$ de $q$ est déterminé à des multiples de $2\pi$ près et l'unité $h$ est unique, sauf si $\sin\theta=0$, c'est-à-dire si $q$ est réel. Lorsque $q=0$, la décomposition est indéterminée.

Dans ce qui suit, on munit ${\rm I\!H}_{pur}$ de la structure d'espace vectoriel euclidien orienté pour laquelle $(i,j,k)$ est une base orthonormée positive. Pour rappel, à l'exception de l'identité, chaque rotation $r$ de ${\rm I\!H}_{pur}$ possède un axe ${\mathcal A}$. Le fait d'orienter cet axe par un vecteur directeur unitaire ${\bf h}$ oriente automatiquement son complément orthogonal: les bases positives de ce dernier complétées par ${\bf h}$ forment des bases positives de ${\rm I\!H}_{pur}$. L'angle de la rotation $r$ est alors celui de la rotation qu'elle induit dans ${\mathcal A}^\perp$. Comme il y a deux manières d'orienter ${\mathcal A}$, il y a également deux possibilités d'associer un angle à $r$. Elles s'interprètent commodément en terme de quaternions.

On désigne par $\delta_q$ la multiplication à droite $q'\mapsto q'q$ par $q$. Dans la base $(1,i,j,k)$, elle est représentée par la matrice

$$% latex2html id marker 18248\left ( \begin{array}{rrrr} a&... ...-d\\ b&a&d&-c\\ c&-d&a&b\\ d&c&-b&a \end{array}\right ).$$

Proposition 22   a)Pour tout quaternion $q$, l'application $\gamma_q\delta_{\overline{q}}$ stabilise ${\rm I\!H}_{pur}$.
b)Si $\vert q\vert=1$ et si $q=\cos\theta+h\sin\theta$ n'est pas réel, la restriction $r_q$ de $\gamma_q\delta_{\overline{q}}$ à ${\rm I\!H}_{pur}$ est une rotation de ${\rm I\!H}_{pur}$, d'axe ${\rm I\!R}h$ et d'angle $2\theta$ lorsqu'on oriente cet axe par ${\bf h}$, et toute rotation de ${\rm I\!H}_{pur}$ est de cette forme.
c)La correspondance $q\mapsto r_q$ est un homomorphisme de groupes et si $r_q = r_{q'}$ alors $q'=±q$.

a) Soit $p\in{\rm I\!H}_{pur}$. On a $\overline{qp\overline{q}}=q\overline{p}\ \overline{q}=-qp\overline{q}$. Donc $\gamma_q\delta_{\overline{q}}(p)\in{\rm I\!H}_{pur}$.
b) Supposons que $q=\cos\theta+h\sin\theta$ ne soit pas réel. Calculons $r_q(p), p\in{\rm I\!H}_{pur}$. On a

$$r_q(p) = (\cos\theta+h\sin\theta)p(\cos\theta-h\sin\theta)$$

$$= (\cos^2\theta) p+\cos\theta\sin\theta (hp-ph)-(\sin^2\theta) hph.$$

Or $hp-ph=2h\wedge p$ et $hph=p-2(h.p)h$. Au total,

$$r_q(p)=\cos(2\theta)p+\sin(2\theta)h\wedge p+2(h.p)(\sin^2\theta) h.$$

En particulier, $r_q(h)=h$ et, si $p$ est perpendiculaire à $h$,

$$r_q(p)=\cos(2\theta)p+\sin(2\theta)h\wedge p.$$

Lorsque $q=±1$, $r_q$ est l'identité de ${\rm I\!H}_{pur}$. D'où b).
c) Il est immédiat de vérifier que $r_{qq'}=r_qr_{q'}$. En particulier $r_q = r_{q'}$ équivaut à $r_{q^{-1}q'}={\bf 1}$. Il reste donc à montrer que $r_q={\bf 1}$ entraîne $q=±1$. Comme $\gamma_q\delta_{\overline{q}}(1)=1$, cela revient à montrer que si $\gamma_q=\delta_q$, alors $q=±1$. Or $\gamma_q=\delta_q$ signifie que $q$ est dans le centre de ${\rm I\!H}$, donc qu'il est réel. Comme il est de longueur $1$, il vaut effectivement $\pm 1$.$\qedsymbol$

La proposition précédente montre que $SO(3)$ est le quotient du groupe $S^3$ par le sous-groupe $\{-1,1\}$. Chaque droite vectorielle de ${\rm I\!R}^4$ coupe $S^3$ en une classe d'équivalence $\{-q,q\}$ définissant ce quotient et, réciproquement, chaque classe est obtenue de la sorte. On peut donc identifier $SO(3)$ et l'ensemble ${\rm I\!P}^3{\rm I\!R}$ des droites vectorielles de ${\rm I\!R}^4$ qu'on appelle l'espace projectif réel de dimension $3$(^4.1).

En utilisant les matrices représentant $\gamma_q$ et $\delta_q$ dans la base $(1,i,j,k)$, on obtient la matrice représentant $\gamma_q\delta_{\overline{q}}$. Les composantes de $q$ étant $(a,b,c,d)$, il s'agit de

$$% latex2html id marker 18390\left ( \begin{array}{cccc} {a... ... b d&2 a b+2 c d&{a^2}-{b^2}-{c^2}+{d^2} \end{array}\right ).$$

En particulier, lorsque $q=1$, la représentation matricielle de la rotation $r_q$ de ${\rm I\!H}_{pur}$ dans la base $(i,j,k)$ est

$$% latex2html id marker 18400\left ( \begin{array}{ccc} {a^... ... b d&2 a b+2 c d&{a^2}-{b^2}-{c^2}+{d^2} \end{array}\right ).$$