7.3.2 Le graphe de $f$ comme hypersurface

Lorsque le domaine de $f$ est un ouvert dans lequel $f$ est de classe $C^k$, $k\geq 1$, son graphe ${\mathcal G}(f)$ est une hypersurface, dont $\varphi:x\in dom f\mapsto (x,f(x))\in{\rm I\!R}^{m+1}$ est un paramétrage. Il est facile de voir que(^7.9)

$${\bf n}_x= \partial_1\varphi\wedge\cdots\wedge\partial_m\varphi=(-\partial_1f,\ldots,-\partial_mf,1).$$

Nous notons $D_x$ l'intersection de $dom f\times {\rm I\!R}$ et du demi-espace délimité par l'espace tangent en $a=(x,f(x))$ à ${\mathcal G}(f)$ et vers lequel ${\bf n}_x$ pointe(^7.10). Un point $b=(y,r)\in{\rm I\!R}^{m+1}$ appartient à $D_x$ si et seulement si $y\in dom f$ et $\overrightarrow{ab}.{\bf n}_x\geq 0$.

Lemme 67   Si $dom f$ est un ouvert convexe dans lequel $f$ est de classe $C^k$, $k\geq 1$, alors

$$\bigcap_{x\in dom f}D_x\subset {\mathcal G}^+(f).$$

De plus, $f$ est convexe si et seulement si

$${\mathcal G}^+(f)=\bigcap_{x\in dom f}D_x.$$

Soit un point $b=(x,y)$ de l'intersection des $D_z$. On a $x\in dom f$. Posons $a=(x,f(x))$. Le fait que $b$ soit dans $D_x$ se traduit alors par

$$y-f(x)=\overrightarrow{ab}.{\bf n}_x\geq 0,$$

c'est-à-dire $b\in{\mathcal G}^+(f)$.

Si ${\mathcal G}^+(f)$ est égal à l'intersection des $D_x$, alors il est convexe car les $D_x$ le sont et une intersection de convexes est convexe (c'est immédiat).

Réciproquement, supposons que ${\mathcal G}^+(f)$ soit convexe. Le fait qu'il soit alors contenu dans l'intersection des $D_x$ résulte de ce que le plan tangent à ${\mathcal G}(f)$ en $(x,f(x))$ est l'unique hyperplan d'appui de ${\mathcal G}^+(f)$ en ce point.$\qedsymbol$

Lemme 68   Sous les hypothèses du Lemme 67, $f$ est convexe si et seulement si

$$\forall x,y\in dom f,\ f(y)-f(x)-\sum(y^i-x^i)(\partial_if)(x)\geq 0.$$ (7.1)

Supposons d'abord que $f$ soit convexe. Son épigraphe est alors l'intersection des $D_x$. Par conséquent, si $x, y \in dom f$, comme $(y,f(y))\in D_x$,

$$(y-x,f(y)-f(x)).{\bf n}_x=f(y)-f(x)-\sum(y^i-x^i)(\partial_if)(x)\geq 0.$$

Inversement, (18) montre que les points de la forme $(x,f(x)), x\in dom f$, sont dans l'intersection des $D_z$. Comme celle-ci est convexe, il en résulte que si $x, y \in dom f$, alors le segment joignant $(x,f(x))$ à $(y,f(y))$ est contenu dans cette intersection, donc dans ${\mathcal G}^+(f)$, c'est-à-dire

$$(1-t)f(x)+tf(y)\geq f((1-t)+ty)$$

pour tout $t\in[0,1]$. Vu la Proposition 66, $f$ est donc convexe.$\qedsymbol$