1.1.1 Espace topologique

Une topologie sur un ensemble $X$ est un ensemble de parties de $X$ stable par union quelconque et intersection finie. Une topologie sur $X$ contient toujours au moins les ensembles $\emptyset$ et $X$.

En effet, l'union de la famille vide de parties de $X$ est $\emptyset$ et l'intersection de la famille vide de parties de $X$ est $X$. Ceci n'est pas immédiat pour le débutant qui peut raisonner comme ceci pour vérifier ces faits. L'union

$$\bigcup {\mathcal A}$$

d'une famille ${\mathcal A}$ de parties de $X$ est l'ensemble des éléments de $X$ pour lesquels il existe $A\in{\mathcal A}$ tel que $x\in A$. Si ${\mathcal A}$ est vide, il n'existe pas de tels $x$. Quand à l'intersection

$$\bigcap{\mathcal A}$$

elle contient les $x\in X$ qui ont la propriété d'appartenir à chaque élément de ${\mathcal A}$. Si ce dernier est vide, tous les éléments de $X$ répondent à cette exigence.

A eux seuls, $\emptyset$ et $X$ forment une topologie sur $X$, appelée topologie triviale. L'ensemble de toutes les parties de $X$ est également une topologie sur $X$, dite discrète. Même si ces deux topologies sont utiles, il y a heureusement beaucoup d'autres topologies...

Un ensemble $X$ muni d'une topologie ${\mathcal T}$ est un espace topologique. Les éléments de ${\mathcal T}$ en sont les ouverts. Les complémentaires des ouverts sont, par définition, les fermés de $(X,{\mathcal T})$. Lorsque dans un contexte donné, il n'y a pas d'ambiguïté sur la topologie ${\mathcal T}$ dont on munit $X$, on allège les notations en écrivant $X$ pour désigner l'espace topologique $(X,{\mathcal T})$.

La topologie classique de ${\rm I\!R}^n$ est l'ensemble des unions de boules ouvertes(^1.1)

$$b_o(a,r)=\big\{x\in{\rm I\!R}^n\vert\vert x-a\vert<r\big\}$$

et on montre que $F\subset {\rm I\!R}^n$ est fermé si et seulement si tout élément de $F$ est limite d'une suite de points de $F$(^1.2).