5.4.1 Définition et exemples

Une surface réglée $\Sigma$ est l'image $\varphi(I\times{\rm I\!R})$ d'une fonction de classe $C^k$ de la forme

$$\varphi:(t,\lambda)\in I\times{\rm I\!R}\mapsto\gamma(t)+\lambda{\bf a}(t)\in{\rm I\!R}^3$$ (5.2)

où $(I,\gamma)$ est un paramétrage d'un arc régulier de courbe $\Gamma$ et ${\bf a}:I\to {\rm I\!R}^3\setminus\{0\}$. On suppose de plus que $\partial_t\varphi=\gamma'+\lambda{\bf a}'$ et $\partial_\lambda\varphi={\bf a}$ sont toujours linéairement indépendants. Une surface réglée est donc formée de droites, les génératrices, qui s'appuient sur une directrice $\Gamma$.

L'ensemble $\Sigma$ n'est pas toujours une surface au sens de la définition donnée plus haut car l'application $\varphi$ n'est pas nécessairement injective comme le veut la définition d'un paramétrage. A cause de l'hypothèse sur ses dérivées partielles, elle est cependant injective quand on la restreint à un voisinage suffisamment petit de chaque point $(t_0,\lambda_0)\in I\times{\rm I\!R}$(^5.15). Il est donc légitime de dire que le plan

$$T_{\varphi(t,\lambda)}\Sigma =P+>\gamma'(t)+\lambda{\bf a}'(t),{\bf a}(t)<_l.$$ (5.3)

est tangent à $\Sigma$ en $P=\varphi(t,\lambda)$. Comme pour les tangentes aux arcs de courbes, il peut donc y avoir plusieurs plans tangents à $\Sigma$ en un même point.