2.1.1 Définition

Un paramétrage d'une partie $V\subset{\rm I\!R}^m$ est une bijection $\varphi$ d'un ouvert $U$ de ${\rm I\!R}^p$ sur $V$, de classe $C^k$(^2.1) dans $U$, de rang $p$ partout dans $U$ et dont la réciproque $\varphi^{-1}:V\to U$ soit continue.

Voici un premier exemple de paramétrage. L'ensemble $V$ est le complémentaire du pôle nord $N=(0,0,1)$ de la sphère

$$S^2=\{(x,y,z)\in{\rm I\!R}^3\vert x^2+y^2+z^2=1\}$$

Il associe à tout point $(u,v)\in U={\rm I\!R}^2$ le point, différent de $N$, en lequel la droite joignant $(u,v,0)$ à $N$ coupe $S^2$. On obtient facilement ses coordonnées $\varphi(u,v)$:

$$\varphi(u,v)=(\frac{2u}{u^2+v^2+1},\frac{2v}{u^2+v^2+1},\frac{u^2+v^2-1}{u^2+v^2+1}).$$

Ainsi, $\varphi$ est de classe $C^\infty$. Posons, pour $z\neq 1$,

$$\psi(x,y,z)=(\frac{x}{1-z},\frac{y}{1-z}).$$

L'application $\psi\circ\varphi$ est l'identité dans ${\rm I\!R}^2$. En particulier, d'après la proposition 2, $\varphi^{-1}$ est continu. De plus, puisque $\psi_*\circ\varphi_*$ est injectif, $\varphi_*$ l'est aussi. Au total, $(U,\varphi)$ est un paramétrage.

Nous venons d'utiliser une remarque très simple mais également très efficace. La voici formulée en termes généraux. Soient des applications $f,g$.

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Si $f\circ g$ est injectif, alors $g$ est injectif

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Si $f\circ g$ est surjectif, alors $f$ est surjectif

La vérification est facile. Ce serait une bonne idée de garder ces observations en mémoire.