7.2.1 Distance d'un point à un convexe

La distance d'un point à un fermé est toujours réalisée. Dans le cas d'un ensemble convexe, elle l'est de manière unique et le point en lequel elle est atteinte possède des propriétés intéressantes.

Rappelons qu'un sous-ensemble de ${\rm I\!R}^m$ est convexe s'il contient les segments dont les extrémités lui appartiennent. Dans cette section, nous notons $e$ un convexe fermé de ${\rm I\!R}^m$.

Proposition 58   Pour tout $x \in {\rm I\!R}^m$, la distance $d(x,e)$ de $x$ à $e$ est réalisée en un point unique de $e$, la projection $\pi_x$ de $x$ sur $e$. Si $x \in e$ alors $\pi_x=x$. Si $x \notin e$ alors $\pi_x$ est un point frontière de $e$; c'est l'unique point $y$ de $e$ pour lequel l'hyperplan perpendiculaire à $xy$ et passant par $y$ sépare ${\rm I\!R}^m$ en deux demis-espaces dont l'un contient $x$ et l'autre $e$.

Si $a,b\in e$ sont distincts et à égale distance de $x$, alors le milieu du segment $[a,b]$ est un point de $e$ plus proche de $x$ que chacun d'eux. La distance de $x$ à $e$ est donc réalisée en un point unique.

Supposons que $x$ n'appartienne pas à $e$ et donc que $r=d(x,e)>0$. Soit un point $a$ de $e$. Le segment $[\pi_x,a]$ est contenu dans $e$. Il fait un angle au moins égal à $\pi/2$ avec la demi-droite $\pi_xx$ sans quoi il possèderait un point intérieur à la sphère de centre $x$ et de rayon $r$ et qui serait donc plus proche de $x$ que $\pi_x$. Par conséquent, l'hyperplan tangent à cette sphère en $\pi_x$ sépare $e$ de $x$. Il est alors évident que $\pi_x$ est dans la frontière de $e$. Inversement, supposons que $y\in e$ et que l'hyperplan perpendiculaire à $xy$ sépare $e$ de $x$. Hormis $y$, les point de $e$ sont alors extérieurs à la sphère de centre $x$ et de rayon $\vert xy\vert$. Par conséquent $y$ réalise la distance de $x$ à $e$: c'est $\pi_x$.$\qedsymbol$

Proposition 59   Pour tout $x, y\in {\rm I\!R}^m$, $\vert\pi_x\pi_y\vert\leq d(x,y)$.

C'est évident si $x$ ou $y$ appartient à $e$. Lorsqu'ils ne sont aucun dans $e$, la distance de $x$ à la projection orthogonale $y'$ de $y$ sur le plan $x\pi_x\pi_y$ est moindre que celle de $x$ à $y$. Mais, dans ce plan, le segment $\pi_x\pi_y$ faisant des angles obtus avec les demi-droites $\pi_xx$ et $\pi_yy'$, il est clair que $\vert xy'\vert\geq \vert\pi_x\pi_y\vert$.$\qedsymbol$