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La distance d'un point à un fermé est toujours réalisée. Dans le cas d'un ensemble convexe,
elle l'est de manière unique et le point en lequel elle est atteinte possède des propriétés intéressantes.
Rappelons qu'un sous-ensemble de
est convexe s'il contient les segments dont les extrémités lui appartiennent. Dans cette section, nous notons un convexe fermé de
.
Proposition 58
Pour tout
, la distance
de
à
est réalisée en un point unique de
, la projection
de
sur
.
Si
alors
. Si
alors
est un point frontière de
; c'est l'unique point
de
pour lequel l'hyperplan perpendiculaire à
et passant par
sépare
en deux demis-espaces dont l'un contient
et l'autre
.
Si sont distincts et à égale distance de , alors le milieu du segment est un point de plus proche de que chacun d'eux. La distance de à est donc réalisée en un point unique.
Supposons que n'appartienne pas à et donc que
. Soit un point de . Le segment est contenu dans . Il fait un angle au moins égal à avec la demi-droite sans quoi il possèderait un point intérieur à la sphère de centre et de rayon et qui serait donc plus proche de que . Par conséquent, l'hyperplan tangent à cette sphère en sépare de . Il est alors évident que est dans la frontière de . Inversement, supposons que et que l'hyperplan perpendiculaire à sépare de . Hormis , les point de sont alors extérieurs à la sphère de centre et de rayon . Par conséquent réalise la distance de à : c'est .
Proposition 59
Pour tout
,
.
C'est évident si ou appartient à . Lorsqu'ils ne sont aucun dans , la distance de à la projection orthogonale de sur le plan
est moindre que celle de à . Mais, dans ce plan, le segment
faisant des angles obtus avec les demi-droites et , il est clair que
.
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