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7.2.1 Distance d'un point à un convexe

La distance d'un point à un fermé est toujours réalisée. Dans le cas d'un ensemble convexe, elle l'est de manière unique et le point en lequel elle est atteinte possède des propriétés intéressantes.

Rappelons qu'un sous-ensemble de % latex2html id marker 21610
$ {\rm I\!R}^m$ est convexe s'il contient les segments dont les extrémités lui appartiennent. Dans cette section, nous notons $ e$ un convexe fermé de % latex2html id marker 21614
$ {\rm I\!R}^m$.

Proposition 58   Pour tout % latex2html id marker 21617
$ x \in {\rm I\!R}^m$, la distance $ d(x,e)$ de $ x$ à $ e$ est réalisée en un point unique de $ e$, la projection $ \pi_x$ de $ x$ sur $ e$. Si $ x \in e$ alors $ \pi_x=x$. Si $ x \notin e$ alors $ \pi_x$ est un point frontière de $ e$; c'est l'unique point $ y$ de $ e$ pour lequel l'hyperplan perpendiculaire à $ xy$ et passant par $ y$ sépare % latex2html id marker 21651
$ {\rm I\!R}^m$ en deux demis-espaces dont l'un contient $ x$ et l'autre $ e$.

Si $ a,b\in e$ sont distincts et à égale distance de $ x$, alors le milieu du segment $ [a,b]$ est un point de $ e$ plus proche de $ x$ que chacun d'eux. La distance de $ x$ à $ e$ est donc réalisée en un point unique.

Supposons que $ x$ n'appartienne pas à $ e$ et donc que $ r=d(x,e)>0$. Soit un point $ a$ de $ e$. Le segment $ [\pi_x,a]$ est contenu dans $ e$. Il fait un angle au moins égal à $ \pi/2$ avec la demi-droite $ \pi_xx$ sans quoi il possèderait un point intérieur à la sphère de centre $ x$ et de rayon $ r$ et qui serait donc plus proche de $ x$ que $ \pi_x$. Par conséquent, l'hyperplan tangent à cette sphère en $ \pi_x$ sépare $ e$ de $ x$. Il est alors évident que $ \pi_x$ est dans la frontière de $ e$. Inversement, supposons que $ y\in e$ et que l'hyperplan perpendiculaire à $ xy$ sépare $ e$ de $ x$. Hormis $ y$, les point de $ e$ sont alors extérieurs à la sphère de centre $ x$ et de rayon $ \vert xy\vert$. Par conséquent $ y$ réalise la distance de $ x$ à $ e$: c'est $ \pi_x$.$ \qedsymbol$

Proposition 59   Pour tout % latex2html id marker 21732
$ x, y\in {\rm I\!R}^m$, $ \vert\pi_x\pi_y\vert\leq d(x,y)$.

C'est évident si $ x$ ou $ y$ appartient à $ e$. Lorsqu'ils ne sont aucun dans $ e$, la distance de $ x$ à la projection orthogonale $ y'$ de $ y$ sur le plan $ x\pi_x\pi_y$ est moindre que celle de $ x$ à $ y$. Mais, dans ce plan, le segment $ \pi_x\pi_y$ faisant des angles obtus avec les demi-droites $ \pi_xx$ et $ \pi_yy'$, il est clair que $ \vert xy'\vert\geq \vert\pi_x\pi_y\vert$.$ \qedsymbol$
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