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1.1.2 Topologie induite

Soit un espace topologique $ (X,{\mathcal T})$. Pour toute partie $ V$ de $ X$,

$\displaystyle {\mathcal T}_{\vert V}=\big\{V\cap\omega\vert\omega\in{\mathcal T}\big\}
$

est une topologie de $ V$. C'est la topologie induite par $ {\mathcal T}$ sur $ V$.
La vérification est directe. Elle repose essentiellement sur les formules

$\displaystyle V\cap\bigcup_{i\in I}\omega_i=\bigcup_{i\in I}(V\cap\omega_i)
$

$\displaystyle V\cap\bigcap_{i\in I}\omega_i=\bigcap_{i\in I}(V\cap\omega_i)
$

Il peut être utile dobserver que les fermés de $ (V,{\mathcal T}_{\vert V})$ sont les intersections de $ V$ avec les fermés de $ (X,{\mathcal T})$.
Le lecteur aurait intérêt à vérifier ce fait par lui-même. De tels petits exercices sont bien utiles lors des premièrs contact avec une discipline aussi abstraite que la topologie.


Dans ce texte, sauf mention explicite du contraire, toute partie % latex2html id marker 16034
$ V\subset {\rm I\!R}^n$ sera considérée comme munie de la topologie induite par la topologie classique de % latex2html id marker 16036
$ {\rm I\!R}^n$. Lorsqu'il sera nécessaire de la mentionner explicitement, nous noterons $ \tau_V$ cette topologie induite.