A.5.2 Exemples

Considérons une variété plongée $\Sigma$ dans ${\rm I\!R}^m$. Le produit scalaire $g_m$ induit un produit scalaire $g_P$ sur chaque espace tangent $\overrightarrow{T_P\Sigma}$ à $\Sigma$ et définit ainsi un champ $P\mapsto g_P$ de produits scalaires sur $\Sigma$. Dans le cas des hypersurfaces, c'est la première forme fondamentale de $\Sigma$.

Il lui correspond un champ $\varphi_\Sigma:P\mapsto \varphi_{g_P}$ de $1$-densités sur $\Sigma$. Soit un paramétrage local arbitraire $(U,\psi)$ de $\Sigma$. Les dérivées partielles $\partial_i\psi$ de $\psi$ donnent une base (au sens classique) de l'espace tangent en $P=\psi(u^1,\ldots,u^p)$ à laquelle correspond une base

$${\bf b}_\psi(u^1,\ldots,u^p):{\rm I\!R}^p\to \overrightarrow{T_P\Sigma}$$

au sens utilisé dans ce texte. Avec la formule (23), on obtient alors l'expression de $\varphi_\Sigma$ dans le paramétrage $(U,\psi)$

$$\varphi_\Sigma({\bf b}_\psi(u^1,\ldots,u^p))=\sqrt{\det(\partial_i\psi.\partial_j\psi)}$$ (A.4)

(où le point "." indique le produit scalaire $g_m$). On reconnaît dans cette expression la formule usuelle donnant "l'élément de volume" de $\Sigma$

$$d\sigma=\sqrt{\det(\partial_i\psi.\partial_j\psi)}du^1\cdots du^p$$

Considérons encore l'exemple d'un arc régulier de courbe $\Gamma$ admettant le paramétrage local $(I,\gamma)$. La dérivée $\gamma'$ de $\gamma$ par rapport à $t$ donne une base ${\bf b}_\gamma$ des vecteurs directeurs de la tangente à $\Gamma$ en $\gamma(t)$ et induit donc une $1$-densité $\varphi_{\gamma(t)}$. Elle est calculée par la formule (23) qui donne

$$\varphi_{\gamma(t)}({\bf b}_\gamma)=\vert\gamma'\vert$$

On retrouve ainsi l'élément de longueur $ds=\vert\gamma'\vert dt$ avec lequel on calcule les longueurs d'arc.

Nous allons bientôt comprendre en quoi les expressions telles que (24) ou $\vert\gamma'\vert$ sont liées à des mesures de volume ou de longueur d'arc.