6.1.3 Calcul des longueurs d'arc

Soit une courbe $(I,\gamma)$ tracée sur $\Sigma$ et contenue dans l'ouvert paramétré par $\varphi$. Il existe une courbe $(I,\xi)$ de $U$ telle que $\gamma=\varphi\circ\xi$. C'est évident si $\varphi$ est un paramétrage par des coordonnées et cela reste vrai pour un paramétrage quelconque qui est toujours localement équivalent à un paramétrage par des coordonnées. Le vecteur tangent à $\gamma$ s'écrit donc

$$\dot{\gamma}=\sum_i\dot{\xi^i}\partial_i\varphi\circ\xi$$ (6.1)

(en désignant par un point la dérivée par rapport à $t$). Par conséquent, la longueur de l'arc de $\gamma$ compris entre $\gamma(t_0)$ et $\gamma(t_1)$ est, en calculant l'abscisse curviligne $s$ à partir d'une origine quelconque et dans l'orientation associée au paramétrage $\gamma$,

$$s(t_1)-s(t_0) = \int_{t_0}^{t_1}\vert{\frac{d{\gamma}}{dt}}\vert dt$$

$$= \int_{t_0}^{t_1}\sqrt{g_{_\gamma}(\dot{\gamma},\dot{\gamma})}dt$$

$$= \int_{t_0}^{t_1}\sqrt{\sum_{ij}g_{ij}(\gamma(t))\dot{\xi^i}\dot{\xi^j}}dt.$$

Cette formule est souvent présentée sous la forme (^6.3)

$$ds^2=\sum_{ij}g_{ij}du^idu^j.$$