A.4.1 Action de $GL(E)$

Dans ce texte, nous allons noter ${\mathcal H}_+(E)$ l'ensemble des produits scalaires de $E$. Le groupe $GL(E)$ des bijections linéaires de $E$ dans lui-même opère sur cet espace, par l'action

$$(g,S)\in{\mathcal H}_+(E)\times GL(E)\mapsto S^*g\in{\mathcal H}_+(E)$$ (A.2)

Plus généralement, toute bijection linéaire ${\bf b}:E\to F$ entre espaces vectoriels de dimension finie induit une bijection

$$b^*:g\in{\mathcal H}_+(F)\mapsto b^*g\in{\mathcal H}_+(E)$$

Elle est donnée par

$$(b^*g)({\bf u},{\bf v})=g(b({\bf u}),b({\bf v}))$$

On a

$$(bc)^*g=c^*(b^*g)$$

En particulier, l'action (22) est une action à droite.

Proposition 71   L'action de $GL(E)$ sur ${\mathcal H}_+(E)$ est transitive

Ceci repose sur l'existence de bases orthonormées. Une base ${\bf b}$ de $E$ est orthonormée pour le produit scalaire $g$ si ${\bf b}^*g$ est le produit scalaire canonique

$$g_m:((x^1,\ldots,x^m),(y^1,\ldots,y^m))\mapsto x^1y^1+\cdots +x^my^m$$

de ${\rm I\!R}^m$. Soient alors des produits scalaires $g$ et $g'$ et des bases ${\bf b}$ et ${\bf b}'$ orthonormées pour $g$ et $g'$ respectivement. On a ${\bf b}^*g={\bf b}'^*g'$ et par conséquent $g'=S^*g$, où

$$S={\bf b}\circ{\bf b}'^{-1}$$

Cela dit, l'action (22) n'est pas libre. Les éléments du stabilisateur d'un produit scalaire $g$ forment précisément le groupe $O(E,g)$ des isométries de l'espace vectoriel euclidien $(E,g)$ (on les appelle aussi transformations othogonales). C'est un groupe isomorphe à $O(m)$. Notons que si $S\in O(E,g)$, alors $\det S=\pm 1$.