A.6.2 Mesure des parallélotopes

Soit un parallélotope

$${\mathcal P}=P_0+\{t^1{\bf u}_1+\cdots+t^m{\bf u}_m\vert t^1,\ldots,t^m\in[0,1]\}$$

de ${\mathcal E}$. Les éléments ${\bf u}_i$ de $E$ forment une base ${\bf b}$ de $E$ et les coordonnées des points de ${\mathcal P}$ dans le repère ${\mathcal R}=(P_0,{\bf b})$ décrivent exactement le cube $[0,1]^m$ de ${\rm I\!R}^m$. Par conséquent, pour toute densité $\varphi$ de poids $1$ de $E$, le champ de $1$-densités constant $P\mapsto \varphi$ de ${\mathcal E}$ (nous le notons encore $\varphi$) est intégrable sur ${\mathcal P}$ et

$$\int_{\mathcal P}\varphi=\varphi({\bf b})$$

En particulier, lorsque $\varphi$ est la densité $\varphi_g$ canoniquement asociée à un produit scalaire $g:({\bf u},{\bf v})\mapsto {\bf u}.{\bf v}$ de $E$, la formule (23) montre que la mesure de ${\mathcal P}$ est donnée par

$$mes_g({\mathcal P})=\int_{\mathcal P}\varphi_g=\sqrt{\det({\bf u}_i.{\bf u}_j)}$$

Dans ce déterminant, on voit apparaître

• les côtés issus du sommet $P_0$: $a_i=\vert u_i\vert=\sqrt{u_i.u_i}$
• les angles que font ces côtés, donnés par $a_ia_j\cos\alpha_{ij}=u_i.u_j$

On peut ainsi écrire

$$mes_g({\mathcal P})=a_1\cdots a_m\sqrt{\det(\cos\alpha_{ij})}$$

En particulier, si tous les ${\bf u}_i$ sont deux à deux perpendiculaires, on obtient

$$mes_g({\mathcal P})=a_1\cdots a_m$$