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7.2.2 Hyperplan d'appui

On dit qu'un hyperplan est un hyperplan d'appui d'un convexe $ e$ si $ e$ rencontre cet hyperplan et s'il est contenu dans un des demi-espaces que celui-ci délimite. Les hyperplans d'appui sont un peu aux convexes ce que les espaces tangents sont aux variétés plongées.

Il se pourrait que $ e$ soit tout entier contenu dans un de ses hyperplans d'appui $ \alpha$. Si ce n'est pas le cas (7.3) alors on peut distinguer sans ambiguité les normales unitaires à $ \alpha$. Une pointe vers le demi-espace contenant $ e$. Nous l'appellerons la normale orientée vers l'intérieur. L'autre est la normale orientée vers l'extérieur, elle pointe vers le demi-espace ne contenant pas $ e$.

Nous notons encore $ e$ un convexe fermé.

Proposition 60   Par tout point de la frontière de $ e$, il passe un hyperplan d'appui de $ e$.

Soit un point frontière $ a$ de $ e$. Il est limite d'une suite de points $ x_n$ n'appartenant pas à $ e$. Quitte à passer à une sous-suite, on peut supposer que la suite $ \overrightarrow{\pi_{x_n}x_n}/\vert\pi_{x_n}x_n\vert$ tend vers une limite $ u$. Vu la continuité de l'application $ x\mapsto \pi_x$, $ \pi_{x_n}$ tend vers $ a=\pi_a$. Il est alors clair que l'hyperplan perpendiculaire à $ u$ et passant par $ a$ est un hyperplan d'appui de $ e$. $ \qedsymbol$


Il n'y a pas nécessairement qu'un seul hyperplan d'appui passant par un point frontière donné. Par exemple, toutes les droites passant par un sommet d'un polygone balayant l'angle extérieur délimité par les deux côtés issus de ce sommet sont des droites d'appui du poygone. De même, tous les plans qui contiennent une tangente au cercle qui délimite un disque dans % latex2html id marker 21816
$ {\rm I\!R}^3$ sont des plans d'appui du disque.

Proposition 61   Si la frontière de $ e$ est une variété plongée, alors les hyperplans d'appui qui passent par $ a\in \dot{e}$ contiennent $ T_a\dot{e}$.

Soit $ \alpha$ un hyperpan d'appui en $ a$ et un vecteur tangent $ h$ à $ \dot{e}$ en $ a$. Notons $ N$ la normale de $ \alpha$ orientée vers l'extérieur (7.4) et considérons une courbe $ \gamma$ de $ \dot{e}$ tangente à $ h$ en $ t=0$. Le point $ a$ étant la projection de $ x=a+N$ sur $ e$, la fonction $ t\mapsto d(x,\gamma(t))^2$ possède un minimum local en $ t=0$. Sa dérivée $ 2\overrightarrow{xa}.h=-2N.h$ en $ t=0$ est donc nulle et $ h$ est parallèle à $ \alpha$.$ \qedsymbol$
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