4.3.2 $S^3$ comme sous-groupe de $SO(4)$

On note encore $\gamma_q:q'\in{\rm I\!H}\mapsto qq'\in{\rm I\!H}$ la multiplication à gauche par le quaternion $q=a+bi+cj+dk$. C'est une application linéaire réelle. Dans la base $(1,i,j,k)$, elle est représentée par la matrice (avec laquelle on la confond dans la suite)

$$% latex2html id marker 18045\left ( \begin{array}{rrrr} a&... ...-d\\ b&a&-d&c\\ c&d&a&-b\\ d&-c&b&a \end{array}\right ).$$

La multiplication des quaternions étant associative, on a $\gamma_q\gamma_{q'}=\gamma_{qq'}$. Les nombres réels correspondent aux multiples de l'identité: si $a\in{\rm I\!R}$, alors $\gamma_a=a{\bf 1}$. De plus, le conjugé d'un quaternion $q$ est représenté par la matrice $\gamma_{\overline{q}}=\tilde{\gamma_q}$. En particulier,

$$\gamma_q\tilde{\gamma}_q=\gamma_q\gamma_{\overline{q}}=\gamma_{q\overline{q}}=\vert q\vert^2{\bf 1}$$

Lemme 18   Soit un quaternion $q$. On a $\det(\gamma_q)=\vert q\vert^4$. Si $\vert q\vert=1$, $\gamma_q$ est une matrice de rotation: c'est un élément de $SO(4)$.

Naturellement, le calcul de $\det(\gamma_q)$ peut se faire de façon directe en développant le déterminant de la matrice $\gamma_q$. Voici une manière de faire plus rapide. En prenant le déterminant des deux membres de $\gamma_q\tilde{\gamma_q}=\vert q\vert^2{\bf 1}$, on obtient $\det(\gamma_q)^2=\vert q\vert^8$, donc $\det(\gamma_q)=±\vert q\vert^4$. Mais $\det(\gamma_q)$ et $\vert q\vert^4$ sont deux polynômes dont les termes en $a^4$ sont égaux.$\qedsymbol$

Lemme 19   Pour tous quaternions $q$ et $q'$, on a $\overline{qq'}=\overline{q'}\overline{q}$ et $\vert qq'\vert=\vert q\vert\vert q'\vert$.

On a en effet

$$\gamma_{\overline{qq'}} = (\gamma_{qq'})^{\sim}$$

$$= (\gamma_q\gamma_{q'})^{\sim}$$

$$= \tilde{\gamma_{q'}}\tilde{\gamma_q}$$

$$= \gamma_{\overline{q'}}\gamma_{\overline{q}}$$

$$= \gamma_{\overline{q'}\overline{q}} .$$

Par conséquent, $\overline{qq'}=\overline{q'}\overline{q}$. De plus

$$\vert qq'\vert^2 = qq'\overline{qq'}$$

$$= qq'\overline{q'}\overline{q}$$

$$= q\vert q'\vert^2\overline{q}$$

$$= \vert q'\vert^2q\overline{q}$$

$$= \vert q'\vert^2\vert q\vert^2.$$

D'où la conclusion puisque les modules sont positifs ou nuls. $\qedsymbol$

Proposition 20   La sphère $S^3=\{x\in{\rm I\!R}^4:\vert x\vert=1\}$, ensemble des quaternions de module $1$, est un groupe pour la multiplication des quaternions, sous-groupe de $SO(4)$.

C'est un corollaire immédiat des lemmes qui précèdent.$\qedsymbol$

L'écriture des quaternions à l'aide de nombres complexes donne une autre interprétation de la strucutre de groupe de $S^3$.

Proposition 21   L'application

$$% latex2html id marker 18153u+vj\mapsto \left ( \begin{array}{rr} u&-v\\ \overline{v}&\overline{u} \end{array}\right )$$

est un isomorphismes de groupes entre $S^3$ et $SU(2)$.

Les lignes d'une matrice unitaire sont orthogonales et normées (au sens du produit scalaire de ${\rm I\!\!\!C}^2$). Si la première peut s'écrire, arbitrairement, $(u, -v)$, où $u,v\in{\rm I\!\!\!C}$ sont tels que $\vert u\vert^2+\vert v\vert^2=1$, la seconde est alors un multiple de $(\overline{v},\overline{u})$. Pour que le déterminant de la matrice soit $1$, il faut que ce multiple soit $1$. La correspondance indiquée est donc une bijection entre $S^3$ et $SU(2)$. Le fait que cela soit un homomorphisme de groupes résulte aisément de (6).$\qedsymbol$