A.2.1 Définition

Usuellement, on considère qu'une base de $E$ est une suite ${\mathcal B}=({\bf e}_1,\ldots,{\bf e}_m)$ d'éléments linéairement indépendants de $E$. Tout élément ${\bf u}$ de $E$ s'écrit alors de façon unique

$${\bf u}=u^1{\bf e}_1+\cdots+u^m{\bf e}_m$$

Les nombres $(u^1,\ldots,u^m)$ sont les composantes de ${\bf u}$ dans la base considérée. L'application

$${\bf u}\in E\mapsto (u^1,\ldots,u^m)\in{\rm I\!R}^m$$ (A..1)

est une bijection linéaire. Elle transforme la base ${\mathcal B}$ en la base canonique $(\overrightarrow{e_1},\ldots,\overrightarrow{e_m})$ de ${\rm I\!R}^m$.

Afin de faciliter la présentation de certaines notions et de certaines preuves, nous allons adopter une autre définition. Nous dirons que ${\mathcal B}$ est une base au sens classique et nous appellerons base de $E$, sans autre précision, toute bijection linéaire ${\bf b}:{\rm I\!R}^m\to E$. Il s'agit juste d'un simple changement de point de vue car, pour le reste, les deux notions sont équivalentes. En effet, la correspondance qui associe à une base au sens classique ${\mathcal B}$ la bijection réciproque de l'application (21) est une bijection entre l'ensemble des bases au sens classique de $E$ et celui des bijections linéaires de ${\rm I\!R}^m$ dans $E$.