6.1.5 Géodésique et surfaces de révolution

Dans ${\rm I\!R}^3$, une surface de révolution est une union de cercles contenus dans des plans parallèles et centrés sur une droite perpendiculaires à ces plans, l'axe de révolution. Les cercles en question sont les parallèles de la surface et ses méridiens sont ses intersections avec les demi-plans délimités par l'axe de révolution.

Dans ce qui suit, nous considérons une surface de révolution $\Sigma$ obtenue par la rotation autour de l'axe ${\rm I\!R}\overrightarrow{e}_3$ d'une courbe ${\mathcal C}$ de la forme

$${\mathcal C}=\{(r(z),0,z)\vert z\in]a,b[\}$$

où la fonction $r$ est au moins deux fois continûment dérivable dans l'intervalle $I=]a,b[$ et à valeurs strictement positives.

Un point $(x,y,z)$ appartient à $\Sigma$ si et seulement si

$$F(x,y,z)=x^2+y^2-r^2(z)=0.$$

Comme

$${\rm grad}F=2(x,y,r(z)r'(z))$$

ne s'annule pas sur $\Sigma$, cette dernière est bien une variété plongée, définie par l'équation cartésienne $(\Omega,F)$, où $\Omega$ est l'ouvert ${\rm I\!R}^2\times I$ de ${\rm I\!R}^3$.

Nous allons vérifier que $\Sigma$ admet des paramétrages $(U,\varphi)$ où

$$\varphi:(u,v)\mapsto(r(v)\cos u,r(v)\sin u, v)$$ (6.3)

et où $U$ est de la forme $]u_0,u_0+2\pi[\times I.$ Un tel paramétrage décrit $\Sigma$ à l'exception d'un méridien. L'application $\varphi$ est manifestement injective dans $U$. On a

$$% latex2html id marker 20365\left\{ \begin{array}{rcl} \pa... ... \partial_v\varphi&=&(r'\cos u,r'\sin u, 1) \end{array}\right.$$

En particulier,

$$\vert\partial_u\varphi\wedge\partial_v\varphi\vert=r\sqrt{1+r'^2}$$

Par conséquent, $\partial_u\varphi$ et $\partial_v\varphi$ sont linéairement indépendants et $\varphi_{*(u,v)}$ est injectif en chaque $(u,v)\in U$. Il reste à voir que l'application réciproque de $\varphi$ est continue. Or si

$$\varphi(u_m,v_m)\to\varphi(u,v)$$

alors $v_m\to v$ et, puisque $r$ ne s'annule pas,

$$(\cos u_m,\sin u_m)\to (\cos u,\sin u).$$

Par conséquent, on a aussi $u_m\to u$, ce qui prouve la continuité demandée(^6.6).