7.1 Le problème & la méthode

Peut-on déterminer la surface maximale correspondant à un périmètre donné? La notion de surface d'un ensemble $\subset{\rm I\!R}^2$ ne pose pas de problème. C'est, si elle existe, la mesure de Lebesgues de $e$. La notion de périmètre, par contre, n'est pas simple à définir. Pour un polygone convexe, il s'agit de la somme des longueurs des côtés. Lorsque $e$ est délimité par un arc régulier de courbe, la notion est également bien définie. On peut étendre ces deux cas particuliers aux ensembles convexes compacts (non vides) en dimension quelconque. On parle alors de volume et de surface latérale et on peut établir que pour une surface latérale donnée, c'est le volume de la sphère qui est le plus grand.

Nous allons vérifier cela dans l'ensemble des convexes compacts d'intérieur non vide dont la frontière est une variété plongée dans ${\rm I\!R}^m$. La stratégie de la démonstration repose sur deux faits. Le premier est l'inégalité de Brunn-Minkowski:

Proposition 55   Si $A$ et $B$ sont des compacts de ${\rm I\!R}^m$, alors

$$\sqrt[m]{mes(A+B)}\geq\sqrt[m]{mes A}+\sqrt[m]{mes B}.$$

Le second s'énonce comme suit, en notant $b$ la boule (^7.1) de centre 0 et de rayon $1$:

Proposition 56   Pour tout convexe compact $e$ de ${\rm I\!R}^m$, d'intérieur non vide, il existe $\epsilon > 0$ tel que $mes(e+tb)$ soit un polynôme homogène de degré $m$ dans $[0,\epsilon]$(^7.2). De plus, si $e$ est un polytope ou si sa frontière est une hypersurface de ${\rm I\!R}^m$, alors le coefficient de $t$ dans de polynôme est la surface latérale de $e$.

En vertu de cette proposition, il est légitime d'appeler surface latérale de $e$ le coefficient de $t$ dans le polynôme $mes(e+tb)$. Ceci est d'ailleurs assez intuitif. En effet, ce coefficient vaut

$$\lim_{t\to 0}\frac{1}{t}(mes(e+tb)-mes(e))=\lim_{t\to 0}\frac{1}{t}mes((e+tb)\setminus e)$$

et on imagine volontiers que, lorsque $t>0$ est très petit, la mesure de la ``gangue'' $(e+tb)\setminus e$ soit fort proche du produit de $t$ et de la mesure de la surface latérale de $e$. En particulier, puisque

$$mes(rb+tb)=(r+t)^m\ mes(b)=(\sum_i(^m_i)r^it^{m-i})mes(b),$$

on voit que la surface latérale de la boule $rb$ de rayon $r$ dans ${\rm I\!R}^m$ est la dérivée $mr^{m-1}mes(b)$ par rapport à $r$ de son volume $r^m mes(b)$.

Cela étant, il vient

Proposition 57   Si $\mathcal E$ est un ensemble de parties $e$ de ${\rm I\!R}^m$ pour lesquelles $mes(e+tb)$ est un polynôme

$$mes(e+tb)=mes(e)+a_1(e)t+a_2(e)t^2+\cdots$$

en $t$ pour $t\geq 0$ voisin de 0, alors pour tout $e\in \mathcal E$, $mes(e)$ est au plus égal au volume de la boule dont la surface latérale est égale à $a_1(e)$.

Appliquons l'inégalité de Brunn-Minkowski avec $A=e$ et $B=tb$, en notant que, pour $t>0$, $mes(tb)=t^m mes(b)$. En élevant les deux membres à la puissance $m$, on obtient d'abord

$$% latex2html id marker 21532\begin{array}{ccl} mes(e)+t\ a... ...+t\ m\ mes(e)^{\frac{m-1}{m}}mes(b)^{\frac 1 m}+... \end{array}$$

où $...$ désigne des polynômes divisibles par $t^2$. En simplifiant par $mes(e)$, puis par $t$ et en laissant enfin tendre $t$ vers 0, on obtient l'inégalité

$$a_1(e)\geq m\ mes(e)^{\frac{m-1}{m}}mes(b)^{\frac 1 m}.$$

Il en résulte aussitôt que si $r$ est choisi pour que la surface latérale de $rb$ soit $a_1(e)$, c'est-à-dire pour que $mr^{m-1}mes(b)=a_1(e)$, alors $mes(rb)=r^m mes(b)\geq mes(e)$.$\qedsymbol$

Nous démontrerons l'inégalité de Brunn-Minkowski. Nous allons vérifier la Proposition 56 lorsque $e$ est un polygone convexe et nous l'établirons lorsqu'il est un convexe compact d'intérieur non vide dont la frontière est une hypersurface.

Si $e$ est un polygone convexe, alors $e+tb$ est l'union

• de $e$
• des rectangles de largeur $t$ et dont les longueurs sont les différents côtés de $e$
• des secteurs de cercle de rayon $t$ centrés en chaque sommet de $e$ et délimités par les perpendiculaires aux côtés issus du sommet

Par conséquent, la somme des angles formés par ces perpendiculaires valant $2\pi$, pour un polygone convexe $e$, $mes(e+tb)=mes(e)+tp(e)+\pi t^2$, où $p(e)$ est le périmètre de $e$.

Pour un polyèdre compact dans un espace de dimension $3$, le développement est analogue. Le coefficient du terme en $t$ est la somme des surfaces des faces du polyèdre; celui de $t^3$ est le volume de la boule $b$. Il y a un coefficient supplémentaire, celui de $t^2$, qui comptabilise les contributions des arêtes de $e$. Chaque arête correspond dans $e+tb$ à une portion de cylindre circulaire droit dont la hauteur est l'arête considérée et dont la mesure dépend de l'angle que forment les deux faces de $e$ qui aboutissent en cette arête. Ces angles ne sont en général pas tous égaux et il n'y a pas d'expression simple de ce coefficient faisant par exemple intevenir le ``périmètre'' de $e$.

Les angles en question sont aux polyèdres ce que la courbure est aux surface. Nous établirons en effet que si la frontière de $e$ est une hypersurface, les coefficients des termes de degré supérieur à $1$ de $mes(e+tb)$ s'expriment à l'aide de des courbures principales de celle-ci.