1.2.1 Différentiabilité

Rappelons qu'une application $f$ d'un ouvert $\omega$ de ${\rm I\!R}^m$ dans ${\rm I\!R}^n$ est différentiable en $a\in\omega$ s'il existe une application linéaire $f_{*a}:{\rm I\!R}^m\to{\rm I\!R}^n$ telle que

$$\forall h\in{\rm I\!R}^m,\lim_{t\to 0}\frac{f(a+th)-f(a)}{t}=f_{*a}h.$$

En prenant pour $h$ les vecteurs $\overrightarrow{e_i}$ de la base canonique de ${\rm I\!R}^m$, on voit que si $f$ est différentiable en $a$, ses dérivées partielles $\partial_if(a)$ en $a$ existent. De plus, $f_{*a}$ étant linéaire,

$$f_{*a}h=\sum_ih^i\partial_if(a).$$

L'application $f_{*a}$ est donc représentée par la matrice

$$% latex2html id marker 16351\left ( \begin{array}{ccc} \pa... ...ots\\ \partial_1f^n&\cdots&\partial_mf^n \end{array}\right )$$

dans laquelle la ligne numéro $i$ est formée des dérivées partielles de la composante $f^i$ de numéro $i$ de $f$ par rapports aux variables $(x^1,\ldots,x^m)$ de ${\rm I\!R}^m$, calculées en $a$.

L'application $f_{*a}$ est l'application linéaire tangente de $f$ en $a$, ou encore, un peu abusivement, la différentielle de $f$ en $a$. Notons que $f_{*a}h$ est la dérivée en $t=0$ de la fonction

$$t\mapsto f(a+th)$$

laquelle est définie dans un intervalle contenant 0. On appelle donc aussi $f_{*a}h$ la dérivée de $f$ dans la direction de $h$.

La remarque suivante résulte du théorème de dérivation des fonctions composées. Elle permet de vérifier facilement l'existence de l'application linéaire tangente: si les composantes $(f^1,\ldots,f^n)$ d'une fonction $f:\omega\to{\rm I\!R}^n$ sont de classe $C^1$ dans $\omega$, alors $f$ est différentiable.