A.3.2 Signe des densités

Il est évident que le produit de densités est encore une densité, dont le poids est la somme des poids des facteurs. Dans le même ordre d'idées, les densités ont un signe et on peut élever une densité positive à n'importe quelle puissance. En effet, si la valeur d'une densité est positive (nulle ou négative) en une base de $E$, alors ses valeurs sur les autres bases sont également positives (respectivement nulles ou négatives). Nous dirons donc qu'une densité $\varphi$ est positive ou négative selon que $\varphi({\bf b}) >0$ ou $\varphi({\bf b})<0$ pour un ${\bf b}\in{\mathcal B}(E)$, sachant qu'alors ses valeurs sont toutes du signe en question.

Il est clair que si $\varphi$ est une $\lambda$-densité positive, alors pour tout $\mu\in{\rm I\!R}$,

$$\varphi^\mu:{\bf b}\mapsto\varphi({\bf b})^\mu$$

est une densité positive de poids $\lambda\mu$. Cette observation permet de décrire toutes les densités à partir d'une seule densité $\varphi_0$ positive de poids $1$ car $\varphi_0^\lambda$ est alors une base de ${\mathcal F}_\lambda(E)$.