3.1.1 Premières propriétés

Une quadrique de ${\rm I\!R}^m$ est l'ensemble des points de ${\rm I\!R}^m$ annulant un polynôme du second degré. Un tel polynôme s'écrit toujours sous la forme $F(x)=Ax.x+2b.x+c$, où $A$ est une application linéaire symétrique (c'est-à-dire telle que $Ax.y=x.Ay$ pour tous $x,y\in{\rm I\!R}^m$), non nulle, $b\in{\rm I\!R}^m$ et $c\in{\rm I\!R}$. On a ${{\rm grad}}_xF=2(Ax+b)$.

Proposition 11   Les points $a$ vérifiant $Aa+b=0$ sont des centres de symétrie de la quadrique $Q=\{x\in{\rm I\!R}^m\vert Ax.x+2b.x+c=0\}$.

Soit $x\in Q$. Son symétrique par rapport à $a$ est $2a-x$. On a

$$F(2a-x) = A(2a-x).(2a-x)+2b.(2a-x)+c$$

$$= 4(Aa+b).(a-x)+F(x)$$

$$= 0. \qed$$

En raison de cette propriété, on dit que les solutions de $Aa+b=0$ sont des centres de la quadrique $Q$. Il en existe si $\rho(A)=\rho(A\ b)$.

Les ellipses, les hyperboles ont exactement un centre chacune. Les paraboles en sont dépourvues. Les ellipsoïdes et les hyperboloïdes ont également un centre chacun, les paraboloïdes en sont dépourvus. Les cylindres elliptiques ou hyperboliques ont une droite de centre, etc.

Une quadrique dont on retire les centres éventuels est donc une variété plongée de codimension $1$.

Lemme 12   Une droite qui rencontre une quadrique en trois points distincts est tout entière contenue dans celle-ci.

Les points d'intersection de la droite passant par $a\in{\rm I\!R}^m$ et parallèle à $u$, avec la quadrique $Q=\{x\in{\rm I\!R}^m\vert Ax.x+2b.x+c=0\}$ sont les points $a+tu$, où $t$ décrit les solutions de l'équation

$$A(a+tu).(a+tu)+2b.(a+tu)+c=0,$$

c'est-à-dire

$$(Au.u)t^2+[2(Aa+b).u]t+Aa.a+2b.a+c=0.$$

Si elle n'est pas identiquement nulle, celle-ci admet au plus deux solutions.$\qedsymbol$

Une quadrique qui contient un de ses centres est un cône dont celui-ci est un sommet.

Un cône est une union de droites ayant un point commun, appelé sommet du cône. Ces droites sont les génératrices du cône. L'ensemble des solutions d'un système d'équations homogènes $F:{\rm I\!R}^m\to{\rm I\!R}^q$ est un cône de ${\rm I\!R}^m$ dont l'origine est un sommet. En effet, s'il contient $a$, il contient aussi les multiple de $a$, en raison de l'homogénéité des équations. Un cône peut avoir plusieurs sommets. Par exemple, l'union de deux plans sécants de ${\rm I\!R}^3$ est un cône dont les sommets sont les points de l'intersection des plans.

Proposition 13   Soit un centre $a$ d'une quadrique $Q$. Si $a\in Q$, alors toute droite qui passe par $a$ et qui rencontre $Q$ en un autre point est tout entière contenue dans $Q$.

En effet, $a$ étant un centre de symétrie de $Q$, une droite passant par $a$ et rencontrant $Q$ en un autre point passe aussi par un troisième point de $Q$, son symétrique par rapport à $a$.$\qedsymbol$

A cause de cette propriété, les centres d'une quadrique qui lui appartiennent sont appelés points doubles.

Pour la quadrique $Q=\{x\in{\rm I\!R}^m\vert Ax.x+2b.x+c=0\}$ ce sont les solutions du système d'équations

$$Ax+b =$$ 0

$$b.x+c =$$ 0

S'il en existe, le déterminant $\Delta$ de

$$% latex2html id marker 17450\left ( \begin{array}{cc} A&b\\ \tilde{b}&c \end{array}\right )$$

est nul. Les coniques pour lesquelles ceci est vérifié sont des couples de droites. Lorsqu'elles sont sécantes, elles se coupent en un point double. Lorsqu'elles sont confondues, tous leurs points sont doubles. Dans ${\rm I\!R}^3$, deux plans sécants ont une droites de points doubles, etc.

Il peut arriver que $\Delta$ soit nul sans que $Q$ ait des points doubles. C'est le cas par exemple de deux droites parallèles.