6.2.4 Courbure de Gauss

Les valeurs propres de $W_a$ sont les courbures principales et ses vecteurs propres, les directions principales, de $\Sigma$ (en $a$). Le déterminant $K_a$ de $W_a$ est sa courbure de Gauss.

Il se fait qu'une hypersurface est déterminée à isométrie près par sa première forme fondamentale et sa courbure de Gauss. Lorsque la dimension de l'hypersurface est paire, même cette dernière est déterminée par la première forme fondamentale. C'est un théorème difficile que nous n'établirons pas (^6.14).

Voici une formule qui nous sera utile ultérieurement et dans laquelle on voit intervenir la courbure de Gauss dans les dérivées de $N$.

Proposition 51   Les $\partial_i$ représentant les dérivées par rapport aux paramètres $u^i$,

$$% latex2html id marker 21199\begin{array}{rll} \partial_1N... ...tial_m\varphi\\ [1ex] &=&K\ \sqrt{det(g_{ij})}\ N. \end{array}$$

Notons $W^i_j$ les composantes de la matrice représentant $W$ dans la base de l'espace tangent formée par les $\partial_i\varphi$. On a

$$\partial_iN=\sum_jW^j_i\partial_j\varphi.$$

Par conséquent, si l'on tient compte de l'antisymétrie du produit vectoriel comme on l'a déjà fait plus haut à l'occasion du changement de paramétrage dans l'élément de surface,

$$% latex2html id marker 21209\begin{array}{rll} \partial_1N... ...al_1\varphi\wedge\cdots\wedge\partial_m\varphi.\qed \end{array}$$

Corollaire 52   Si $K_a\neq 0$ alors $u\mapsto N(\varphi(u))$ est un paramétrage de la sphère $S^m$ au voisinage de $N_a$.

En effet, si $K_a\neq 0$, alors la différentielle de $N\circ\varphi$ est injective en $\varphi^{-1}(a)$. La propriété résulte alors d'un théorème d'analyse non linéaire.$\qedsymbol$

Ainsi, si $K_a\neq 0$, lorsque $x\in\Sigma$ décrit un voisinage de $a$, l'application de Gauss le transforme en un voisinage de $N_a$ dans la sphère $S^m$. Les ``surfaces'' des voisinages en question sont dans un rapport lié à la courbure de Gauss.

Proposition 53   Supposons que $K_a\neq 0$. Notons respectivement $e_\epsilon$ et $N(e_\epsilon)$ les images par $\varphi$ et $N\circ\varphi$ de la boule $b_\epsilon$ de centre $u_0=\varphi^{-1}(a)$ et de rayon $\epsilon$ de ${\rm I\!R}^m$, où $\epsilon$ est assez petit pour que cette boule soit contenue dans $U$. On a

$$\lim_{\epsilon\to 0}\frac{S_{S^m}(N(e_\epsilon))}{S_\Sigma(e_\epsilon)}=\vert K_a\vert.$$

En effet, d'après la proposition ci-dessus,

$$% latex2html id marker 21261\begin{array}{ccc} \vert\frac{... ..._{b_\epsilon}\vert\vert K\vert-\vert K_a\vert\vert. \end{array}$$

Puisque $K$ est continu, cette dernière expression peut être rendue aussi petite que l'on veut. $\qedsymbol$