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5.2 Espace tangent aux groupes de matrices

Dans cette section, nous supposerons que

est un sous-groupe de $% latex2html id marker 18611 $ GL(p,{\rm I\!R})$$ et que c'est une variété plongée dans $% latex2html id marker 18613 $ gl(p,{\rm I\!R})$$ . Le fait que

soit stable par multiplication est à l'origine de beaucoup de propriétés intéressantes. Voici quelques unes d'entre elles.

La première montre que l'on peut ramener l'étude de l'espace tangent en un point quelconque de à l'espace tangent en $% latex2html id marker 18619 $ {\bf 1}$$ .

Proposition 25 Pour tous $A,S\in G$ , on a

$\displaystyle ST_AG=\{SX\vert X\in T_AG\}=T_{SA}G$

$\displaystyle (T_AG)S=\{XS\vert X\in T_AG\}=T_{AS}G.$

Soit en effet un élément $A+{\frac{d{\gamma}}{dt}}_{\vert t=s}$ de

, $\gamma$ étant une courbe de

passant par

. Comme $t\mapsto S\gamma(t)$ est une courbe de

passant par

, $S{\frac{d{\gamma}}{dt}}_{\vert t=s}={\frac{d{S\gamma}}{dt}}_{\vert t=s}$ est un vecteur tangent à

. Par conséquent,

$\displaystyle ST_AG\subset T_{SA}G.$

L'inclusion inverse s'obtient en remplaçant

par

par $S^{-1}$ . On démontre la seconde égalité de façon similaire. $\qedsymbol$

Pour simplifier les écritures, nous poserons $% latex2html id marker 18664 $ {\mathcal G}=\overrightarrow{T_{\bf 1}G}$$ .

En utilisant la Proposition 23, il est facile d'identifier cet espace pour les groupes donnés en exemple plus haut. Pour ceux-ci, ${\mathcal G}$ porte généralerment le même nom que le groupe mais écrit en minuscules. En particulier, $% latex2html id marker 18668 $ gl(p,{\rm I\!R})$$ est l'espace tangent à $% latex2html id marker 18670 $ GL(p,{\rm I\!R})$$ en $% latex2html id marker 18672 $ \bf 1$$ . C'est aussi celui de $% latex2html id marker 18674 $ GL^+(p,{\rm I\!R})$$ . Pour $% latex2html id marker 18676 $ SL(p,{\rm I\!R})$$ , c'est l'ensemble $% latex2html id marker 18678 $ sl(p,{\rm I\!R})=\{H\in gl(p,{\rm I\!R})\vert\ {\rm tr}(h)=0\}$$ des matrices de trace nulle. Pour et , on obtient le même espace, ensemble $% latex2html id marker 18684 $ so(p)=\{h\in gl(p,{\rm I\!R})\vert\tilde{H}+H=0\}=gl(p,{\rm I\!R})_a$$ des matrices antisymétriques. Les analogues complexes et ont pour espace tangent en l'unité l'espace $% latex2html id marker 18690 $ u(p)=\{H\in gl(p,{\rm I\!\!\!C})\vert H^*+H=0\}$$ des matrices antihermitiennes et l'espace des matrices antihermitiennes de trace nulle respectivement. Enfin, le groupe affine $% latex2html id marker 18694 $ Aff(n,{\rm I\!R})$$ est tangent en l'unité à l'espace

$\begin{displaymath} % latex2html id marker 18696aff(n,{\rm I\!R})=\{ \left ( \... ...,{\rm I\!R})\vert K\in gl(p,{\rm I\!R}), v\in {\rm I\!R}^p \}. \end{displaymath}$

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