5.2 Espace tangent aux groupes de matrices

Dans cette section, nous supposerons que $G$ est un sous-groupe de $GL(p,{\rm I\!R})$ et que c'est une variété plongée dans $gl(p,{\rm I\!R})$. Le fait que $G$ soit stable par multiplication est à l'origine de beaucoup de propriétés intéressantes. Voici quelques unes d'entre elles.

La première montre que l'on peut ramener l'étude de l'espace tangent en un point quelconque de $G$ à l'espace tangent en ${\bf 1}$.

Proposition 25   Pour tous $A,S\in G$, on a

$$ST_AG=\{SX\vert X\in T_AG\}=T_{SA}G$$

et

$$(T_AG)S=\{XS\vert X\in T_AG\}=T_{AS}G.$$

Soit en effet un élément $A+{\frac{d{\gamma}}{dt}}_{\vert t=s}$ de $T_AG$, $\gamma$ étant une courbe de $G$ passant par $A$ en $t=s$. Comme $t\mapsto S\gamma(t)$ est une courbe de $G$ passant par $SA$ en $t=s$, $S{\frac{d{\gamma}}{dt}}_{\vert t=s}={\frac{d{S\gamma}}{dt}}_{\vert t=s}$ est un vecteur tangent à $G$ en $SA$. Par conséquent,

$$ST_AG\subset T_{SA}G.$$

L'inclusion inverse s'obtient en remplaçant $A$ par $SA$ et $S$ par $S^{-1}$. On démontre la seconde égalité de façon similaire.$\qedsymbol$

Pour simplifier les écritures, nous poserons ${\mathcal G}=\overrightarrow{T_{\bf 1}G}$.

En utilisant la Proposition 23, il est facile d'identifier cet espace pour les groupes donnés en exemple plus haut. Pour ceux-ci, ${\mathcal G}$ porte généralerment le même nom que le groupe mais écrit en minuscules. En particulier, $gl(p,{\rm I\!R})$ est l'espace tangent à $GL(p,{\rm I\!R})$ en $\bf 1$. C'est aussi celui de $GL^+(p,{\rm I\!R})$. Pour $SL(p,{\rm I\!R})$, c'est l'ensemble $sl(p,{\rm I\!R})=\{H\in gl(p,{\rm I\!R})\vert\ {\rm tr}(h)=0\}$ des matrices de trace nulle. Pour $O(p)$ et $SO(p)$, on obtient le même espace, ensemble $so(p)=\{h\in gl(p,{\rm I\!R})\vert\tilde{H}+H=0\}=gl(p,{\rm I\!R})_a$ des matrices antisymétriques. Les analogues complexes $U(p)$ et $SU(p)$ ont pour espace tangent en l'unité l'espace $u(p)=\{H\in gl(p,{\rm I\!\!\!C})\vert H^*+H=0\}$ des matrices antihermitiennes et l'espace $su(p)$ des matrices antihermitiennes de trace nulle respectivement. Enfin, le groupe affine $Aff(n,{\rm I\!R})$ est tangent en l'unité à l'espace

$$% latex2html id marker 18696aff(n,{\rm I\!R})=\{ \left ( \... ...,{\rm I\!R})\vert K\in gl(p,{\rm I\!R}), v\in {\rm I\!R}^p \}.$$