A.4.2 L'application $\alpha _E$

Le dernier point nous intéresse particulièrement. Il va nous permettre d'introduire l'application

$$\alpha_E:{\mathcal H}_+(E)\times{\mathcal H}_+(E)\to {\rm I\!R}$$

qui va nous être bien utile. On pose

$$\alpha_E(g,g')=(\det S)^2$$

si $g'=S^*g$ pour un certain $S\in GL(E)$, ce qui ne dépend pas du choix d'un tel $S$ vu ce qu'on vient d'observer.

Proposition 72   Soient des espaces vectoriels $E$ et $F$ et une bijection linéaire $b:E\to F$. On a

$$\forall g,g'\in{\mathcal H}_+(F):\quad\alpha_E(b^*g,b^*g')=\alpha_F(g,g')$$

En effet, supposons que $b^*g'=S^*b^*g$. Alors $g'=(b\circ S\circ b^{-1})^*g$. Ainsi

$$\alpha_E(b^*g,b^*g')=(\det S)^2=(\det(b\circ S\circ b^{-1}))^2=\alpha_F(g,g')$$

Proposition 73   Pour tous $g,g'\in{\mathcal H}_+(E)$ et tout $S\in GL(E)$, on a
a) $\alpha_E(g',g)=\alpha_E(g,g')^{-1}$
b) $\alpha_E(g,S^*g')=(\det S)^2\alpha_E(g,g')$
c) $\alpha_E(S^*g,g')=(\det S)^{-2}\alpha_E(g,g')$

Le point a) est immédiat. Pour le b), si $S^*g'=T^*g$, alors $g'=(TS^{-1})^*g$ et

$$\alpha_E(g,g')=(\det(TS^{-1}))^2=(\det S)^{-2}(\det T)^2=(\det S)^{-2}\alpha_E(g,S^*g')$$

Le c) découle du a) et du b).

Dans la suite, lorsque $E={\rm I\!R}^m$, nous poserons $\alpha_E=\alpha_m$.