2.3.3 Un exemple: les matrices de rang $r$

Notons $M(p,q,r)$ l'ensemble des matrices à coefficients réels, à $p$ lignes, $q$ colonnes et de rang $r$. C'est une variété plongée dans ${\rm I\!R}^p_q$ dont nous allons donner des paramétrages ainsi que des équations cartésiennes.

Pour un choix $\alpha=I\times J$, $I\subset\{1,...,p\},J\subset\{1,...,q\}$, de $r$ indices de lignes et de $r$ indices de colonnes, nous désignerons par $A_\alpha$ le mineur algébrique de la matrice $A$ obtenu en ne retenant dans cette matrice que les éléments dont les indices de ligne et de colonne figurent dans $I$ et $J$ respectivement. Nous noterons aussi $M_\alpha(p,q,r)$ le sous-ensemble de $M(p,q,r)$ formé des matrices $A$ pour lesquelles $A_\alpha\neq 0.$ Les $M_\alpha(p,q,r)$ sont des ouverts de $M(p,q,r)$ qui le recouvrent.

Le lecteur est invité à produire un ouvert de ${\rm I\!R}^p_q$ dont l'intersection avec $M(p,q,r)$ soit $M_\alpha(p,q,r)$.