7.3 Fonctions convexes

Nous allons profiter de ce que nous avons appris des ensembles convexes pour faire une petite digression sur les fonctions convexes. Notre objectif est de prouver qu'une fonction assez dérivable est convexe si et seulement si son hessien est partout semi-défini positif.

Une fonction $f:{\rm I\!R}^m\to{\rm I\!R}$ est convexe si son épigraphe

$${\mathcal G}^+(f)=\{(x,y)\in{\rm I\!R}^{m+1}\vert x\in dom f, y\geq f(x)\}$$

est un convexe de ${\rm I\!R}^{m+1}$(^7.7). Son domaine de définition $dom f$ est alors automatiquement un convexe de ${\rm I\!R}^m$.