A.3.1 Définition

Une densité de poids $\lambda\in{\rm I\!R}$ sur $E$, encore appelée $\lambda$-densité, est une application

$$\varphi:{\mathcal B}(E)\to {\rm I\!R}$$

telle que

$$\varphi({\bf b}.S)=\vert\det S\vert^\lambda\varphi({\bf b})$$

pour tout ${\bf b}\in{\mathcal B}(E)$ et tout $S\in GL(m,{\rm I\!R})$. Nous désignerons par ${\mathcal F}_\lambda(E)$ l'ensemble des densités de poids $\lambda$ sur $E$. C'est un espace vectoriel, sous-espace de celui des applications de ${\mathcal B}(E)$ dans ${\rm I\!R}$.

Proposition 70   Soient ${\bf b}_0\in{\mathcal B}(E)$ et $a\in{\rm I\!R}$. Il existe une seule densité $\varphi$ de poids $\lambda$ sur $E$ telle que

$$\varphi({\bf b}_0)=a$$

En particulier $\dim {\mathcal F}_\lambda(E)=1.$

La densité cherchée est donnée par

$$\varphi({\bf b})=a\vert\det({\bf b}_0^{-1}\circ{\bf b})\vert^\lambda$$

En effet, il est clair que cette formule définit une densité répondant à la question. Par aileurs, l'unicité est immédiate étant donné que l'action de $GL(m,{\rm I\!R})$ sur ${\mathcal B}(E)$ est transitive. Il résulte de ceci que

$$\varphi\in{\mathcal F}_\lambda(E)\mapsto \varphi({\bf b}_0)\in {\rm I\!R}$$

est une bijection liénaire. En particulier, la dimension de ${\mathcal F}_\lambda$ est effectivement bien égale à $1$.