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2.2.2 Graphes de fonctions

Les graphes de fonction admettent des équations cartésiennes faciles à construire. Si % latex2html id marker 16934
$ f:U\subset{\rm I\!R}^p\to{\rm I\!R}^q$ est de classe $ C^k$, alors les fonctions

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 16938\left\{
\begin{array}{ccc}
F^1...
...& \\
F^q(x)&=&x^{p+q}-f^q(x^1,\ldots,x^p)
\end{array}\right.
\end{displaymath}

de % latex2html id marker 16940
$ x\in U\times{\rm I\!R}^q\subset{\rm I\!R}^{p+q}$ sont des équations cartésiennes de $ {\mathcal G}_f$. En effet, il est évident que

% latex2html id marker 16944
$\displaystyle {\mathcal G}_f=\big\{x\in U\times{\rm I\!R}^q\vert F(x)=0\big\}
$

De plus, $ F_*$ est représenté par la matrice

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 16948
\left (
\begin{array}{cccccc}
-...
...tial_1f^q&\cdots&-\partial_pf^q&0&\cdots&1
\end{array}\right )
\end{displaymath}

qui est de rang $ q$.