6.1.7 Un théorème d'Archimède

En géographie se pose le problème de définir des représentations planes de la surface terrestre. Ces représentations ne conservent généralement pas beaucoup de propriétés géométriques des territoires cartographiés. Certaines projections conservent les angles (on dit qu'elles sont conformes). D'autres les aires. C'est le cas de celle qui consiste à projeter un point de la sphère terrestre perpendiculairement à l'axe des pôles sur le cylindre circulaire droit contenant l'équateur et dont les génératrices sont parallèles à cet axe puis à "dérouler" le cylindre sur un de ses plans tangents. Le théorème suivant est attribué à Archimède!

Théorème 47   (Archimède) La projection d'une sphère sur un cylindre circulaire droit tangent à la sphère le long d'un grand cercle, orthogonalement au diamètre perpendiculaire au plan de ce cercle conserve les aires.

Paramétrons la sphère de rayon $r$ centrée en l'origine de ${\rm I\!R}^3$, privée d'un méridien, par

$$(\lambda,\mu)\in]0,\pi[\times]0,2\pi[\mapsto(r\sin\lambda\cos\mu,r\sin\lambda\sin\mu,r\cos\lambda)$$

et le cylindre tangent à cette sphère le long d'axe parallèle à $\overrightarrow{e}_3$, privé d'une génératrice, par

$$(u,v)\in]0,2\pi[\times{\rm I\!R}\mapsto(r\cos u,r\sin u,v)$$

L'élément de surface de la sphère est $r^{2}\sin\lambda d\lambda d\mu$ et celui du cylindre est $rdudv$. De plus, l'expression de la projection considérée est

$$(r\sin\lambda\cos\mu,r\sin\lambda\sin\mu,r\cos\lambda)\mapsto (r\cos\mu,r\sin\mu,r\cos\lambda).$$

Elle fait donc correspondre le point de paramètres $(u,v)=(\mu,r\cos\lambda)$ du cylindre au point de paramètres $(\lambda,\mu)$ de la sphère. Le Jacobien $J$ de ce changement de variables est

$$% latex2html id marker 20883\det \left ( \begin{array}{cc}... ...\\ -r\sin\lambda & 0 \end{array}\right )=r\sin\lambda\cdot$$

Si les ensembles $V\subset ]0,\pi[\times ]0,2\pi[$ et $V'\subset]0,2\pi[\times {\rm I\!R}$ se correspondent, l'aire de la portion du cylindre paramétrée par $V'$ vaut, en application du théorème de changement de variables dans les intégrales,

$${\mathcal A}' = r\int_{V'}dudv$$

$$= r\int_{V}\vert J\vert d\lambda d\mu$$

$$= r^{2}\int_{V}\sin\lambda \ d\lambda d\mu.$$

D'où le résultat car la dernière expression représente l'aire ${\mathcal A}$ de la portion de la sphère décrite par $V$.$\qedsymbol$

Pour justifier complètement l'utilisation du théorème d'Archimède, il faut vérifier aussi qu'en "déroulant" le cylindre dans un de ses plans tangents, les aires sont également conservées. En prenant le plan tangent en $P$ de coordonnées $(r,0,0)$ rapporté au repère $(P,({\bf e}_{2},{\bf e}_{3}))$, le "déroulement" fait correspondre le point de coordonnées $(ru,v)$ du plan au point de paramètres $(u,v)$ du cylindre(^6.11). Les calculs peuvent alors être menés comme dans la preuve précédente. Ils sont laissés à titre d'exercice.