5.3.1 Distance d'un point à une variété affine

Proposition 31   Soient une variété affine $V\subset{\rm I\!R}^m$ de dimension $p$ et un point $u\not\in V$. Soient des équations cartésiennes $Ax+b=0$ de $V$, où $b\in{\rm I\!R}^m$ et où $A$ est une matrice à $(m-p)$ lignes et $m$ colonnes, de rang $m-p$. La distance de $u$ à $V$ est réalisée en un seul point, la projection orthogonale

$$a=u-\tilde{A}(A\tilde{A})^{-1}(Au+b).$$

de $u$ sur $V$. En particulier

$$d(u,V)=\vert\tilde{A}(A\tilde{A})^{-1}(Au+b)\vert.$$

La distance d'un point à un fermé est toujours réalisée en un point au moins de celui-ci. Pour détecter un tel point, appliquons la règle des multiplicateurs de Lagrange à la fonction $f:x\mapsto d(u,x)^2=\vert x\vert^2-2u.x+\vert u\vert^2$. Si $x$ est un point stationnaire de la restriction de $f$ à $V$, il existe $\lambda=(\lambda_1,\ldots,\lambda_{m-p})$ tel que

$$x-u=\frac{1}{2}{\rm grad}_xf=\tilde{A}\tilde{\lambda}.$$

Comme $x\in V$, il faut avoir $Ax+b=0$. Cela donne (^5.11)

$$\tilde{\lambda}=-(A\tilde{A})^{-1}(Au+b).$$

Par conséquent, il n'y a qu'un point stationnaire qui est donc nécessairement le point en lequel $f$ est minimum sur $V$. C'est le point $a$ décrit dans l'énoncé. Comme $u-a$ est une combinaison linéaires des colonnes de $\tilde{A}$, c'est la projection orthogonale de $u$ sur $V$ car celles-ci constituent une base du complément orthogonal du sous-espace vectoriel directeur de $V$. $\qedsymbol$

Quand $V$ est un hyperplan, il n'y a qu'une équation cartésienne du premier degré et $A$ se réduit à une ligne $(a_1,\ldots,a_m)$. On retrouve alors l'expression familière de la distance d'un point $u$ à un hyperplan:

$$d(u,V)=\frac{\vert a_1u_1+\cdots +a_mu_m+b\vert}{\sqrt{a_1^2+\cdots+a_m^2}}$$

et l'on obtient une expression vectorielle de la projection orthogonale sur $V$:

$$u\mapsto u-\frac{a_1u_1+\cdots +a_mu_m+b}{a_1^2+\cdots+a_m^2}(a_1,\ldots,a_m)^\sim.$$