2.1.2 Paramétrages par des coordonnées

On obtient une famille importante de paramétrages en considérant des fonctions et leur graphes. Si $f:U\subset{\rm I\!R}^p\to{\rm I\!R}^q$ est de classe $C^k$, alors

$$\varphi:U\to {\rm I\!R}^{p+q}:u\mapsto (u,f(u))$$

est un paramétrage du graphe ${\mathcal G}_f=\{(u,f(u)):u\in U\}$ de $f$. Il est évident que c'est une bijection de $U$ sur ${\mathcal G}_f$ et qu'elle est de classe $C^k$.

L'application réciproque

$$\varphi^{-1}:x\in {\mathcal G}_f\mapsto (x^1,\ldots x^p)\in U$$

est continue comme on le voit directement en appliquant la Proposition 2. C'est en effet la restriction de l'application différentiable

$$\psi:x\in{\rm I\!R}^{p+q}\mapsto (x^1,\ldots x^p)\in {\rm I\!R}^p.$$

Comme $\psi_*\circ\varphi_*$ est donc injectif, $\varphi$ est de rang $p$. Cela se voit aussi sur la matrice représentant $\varphi_{*}$, à savoir

$$% latex2html id marker 16805 \left ( \begin{array}{cccc} 1&0... ...ts\\ \partial_1f^q&&\cdots&\partial_pf^q \end{array}\right )$$

dont les $p$ premières lignes forment un mineur non nul. Le paramétrage $\varphi$ est un paramétrage par des coordonnées. Ce sont en effet certaines coordonnées qui servent de paramètres. Dans l'exemple qui vient d'être détaillé, il s'agit des $p$ premières. Mais il peut s'agir de n'importe lesquelles. Ainsi, pour paramétrer le cercle de centre $(0,0)$ et de rayon $r$ dans ${\rm I\!R}^2$, on est amené à considérer non seulement les paramétrages $x\mapsto\pm\sqrt{r^2-x^2}, x\in]-r,r[,$ mais également les paramétrages $y\mapsto\pm\sqrt{r^2-y^2},y\in]-r,r[$.