1.2.4 Dérivation des fonctions composées

L'expression du théorème de dérivation des fonctions composées en termes d'application linéaires est particulièrement élégante.

Proposition 6   Soient des ouverts $\omega$ inclus dans ${\rm I\!R}^m$ et $\Omega$ inclus dans ${\rm I\!R}^n$ et des applications $f:\omega\to{\rm I\!R}^l$ et $g:\Omega\to\omega$. Si $f$ et $g$ sont de classe $C^k$, avec $k\geq 1$, alors $f\circ g$ est de classe $C^k$ et, pour tout $a\in\Omega$, on a

$$(f\circ g)_{*a}=f_{*g(a)}\circ g_{*a}.$$