next up previous contents
suivant: 7.3.2 Le graphe de monter: 7.3 Fonctions convexes précédent: 7.3 Fonctions convexes   Table des matières

7.3.1 Inégalité de Jensen

Pour que $ f$ soit convexe, il faut en particulier que les segments joignant deux points de son graphe soient dans son épigraphe, ce qui se traduit par l'inégalité

$\displaystyle (1-t)f(x)+tf(x')\geq f((1-t)x+tx').
$

Par récurrence sur $ p$, cette égalité se généralise en

$\displaystyle \sum\alpha_i f(x_i)\geq f(\sum\alpha_ix_i)
$

chaque fois que $ x_1,\ldots,x_p\in dom f$, $ \alpha_1,\ldots,\alpha_p\geq 0$ et $ \sum\alpha_i=1$(7.8). En effet, si cette inégalité est vraie pour $ p<q$ alors elle l'est pour $ p=q$, ce qu'on voit en notant qu'on peut exprimer une combinaison convexe de $ q$ points $ y_i$ comme combinaison convexe de l'un d'entre eux (par exemple $ y_1$) et d'une combinaison convexe des autres:

$\displaystyle \sum\alpha_iy_i=\alpha_1y_1+(1-\alpha_1)\sum_{i>1}\frac{\alpha_i}{1-\alpha_1}y_i.
$

Nous allons voir que la réciproque est vraie.

Proposition 66 (Inégalité de Jensen)  
Si le domaine de $ f$ est convexe alors $ f$ est convexe si et seulement si

$\displaystyle \sum\alpha_i f(x_i)\geq f(\sum\alpha_ix_i)
$

pour toute combinaison convexe $ \sum_i\alpha_ix_i$ de points de son domaine, ce qui équivaut à ce qu'elle le soit pour les combinaisons convexes de deux termes.

Il reste à voir que $ f$ est convexe lorsque cette inégalité est vérifiée. Soient des éléments $ (x,y)$ et $ (x',y')$ de l'épigraphe de $ f$ et $ t\in[0,1]$. On a
$\displaystyle (1-t)y+ty'$ $\displaystyle \geq$ $\displaystyle (1-t)f(x)+tf(x')$  
  $\displaystyle \geq$ $\displaystyle f((1-t)x+tx').$  

Ceci prouve que le segment joignant ces points est tout entier dans l'épigraphe de $ f$. Ce dernier est donc convexe.$ \qedsymbol$
next up previous contents
suivant: 7.3.2 Le graphe de monter: 7.3 Fonctions convexes précédent: 7.3 Fonctions convexes   Table des matières