Pour que soit convexe, il faut en particulier que les segments joignant deux points de son graphe soient dans son épigraphe, ce qui se traduit par l'inégalité
Par récurrence sur , cette égalité se généralise en
chaque fois que
,
et
(7.8).
En effet, si cette inégalité est vraie pour alors elle l'est pour , ce qu'on voit en notant qu'on peut exprimer une combinaison convexe de points comme combinaison convexe de l'un d'entre eux (par exemple ) et d'une combinaison convexe des autres:
Nous allons voir que la réciproque est vraie.
Proposition 66 (Inégalité de Jensen)
Si le domaine de est convexe alors est convexe si et seulement si
pour toute combinaison convexe
de points de son domaine, ce qui équivaut à ce qu'elle le soit pour les combinaisons convexes de deux termes.
Il reste à voir que est convexe lorsque cette inégalité est vérifiée.
Soient des éléments et de l'épigraphe de et .
On a