6.1.2 Equations de structure (I)

La préoccupation est ici la même que celle qui a conduit au formules de Frenet pour les courbes. Il s'agit de dériver les éléments décrivant localement espace tangent et normale. Nous reviendrons ultérieurement plus en détail sur la normale. Ici, nous notons $N$ une fonction qui associe à chaque point $x$ de $\Sigma$ un élément $N_x\in\overrightarrow{T_x\Sigma}^\perp$. Nous supposons qu'exprimée à l'aide du paramétrage $\varphi$, elle est dérivable en $u\in U$ autant de fois que nécessaire.

Proposition 37   Il existe des fonctions $a_{ij}:U \to {\rm I\!R}$ telles que

$$\partial_{ij}\varphi=\sum_k\Gamma^k_{ij}\partial_k\varphi+a_{ij}N$$

pour tous $i,j\in\{1,\ldots,m\}$, où les coefficients $\Gamma^k_{ij}$ sont déterminés par

$$\sum_lg_{kl}\Gamma^l_{ij}=\frac{1}{2}(\partial_ig_{jk}+\partial_jg_{ik}-\partial_kg_{ij}).$$

Nous pouvons de fait décomposer $\partial_{ij}\varphi$ selon la base $(\partial_{1}\varphi,\ldots,\partial_{m}\varphi,N)$ de ${\rm I\!R}^{m+1}$. Nous laissons de côté les coefficients $a_{ij}$ de $N$. Pour calculer le coefficient $\Gamma^k_{ij}$ de $\partial_k\varphi$, on évalue

$$\partial_{ij}\varphi.\partial_k\varphi=\sum_lg_{kl}\Gamma^l_{ij}.$$

Remarquons préalablement que

$$\partial_kg_{ij}=\partial_{ki}\varphi.\partial_j\varphi+\partial_i\varphi.\partial_{kj}\varphi$$

En permutant circulairement les indices $i,j,k$ puis en additionnant les égalités obtenues membre à membre, il vient

$$2(\partial_{ij}\varphi.\partial_k\varphi+\partial_{jk}\varphi.\pa... ...varphi.\partial_j\varphi) =\partial_kg_{ij}+\partial_ig_{jk}+\partial_jg_{ki}.$$

La proposition en résulte immédiatement.$\qedsymbol$

Remarquons que les symboles de Christoffel $\Gamma^k_{ij}$ sont des fonctions de classe $C^{k-2}$. Il en va dès lors de même pour les composantes $a_{ij}$ pourvu que $N$ soit aussi de cette classe. Nous verrons qu'il peut être supposé de classe $C^{k-1}$.

Les symboles de Christoffel d'un cylindre circulaire droit paramétré par $(u,v)\mapsto(r\cos u,r\sin u,v)$ sont nuls. A titre d'exercice, le lecteur déterminera les coefficient de Christoffel pour la sphère paramétrée par $(u,v)\mapsto(r\sin u\cos v,r\sin u\sin v,r\cos u)$.