5.3 Extrema liés: la règle des multiplicateurs de Lagrange

Proposition 30   Soient une variété plongée $V$ dans ${\rm I\!R}^m$, $a\in V$, des équations cartésiennes $F:\Omega\to{\rm I\!R}^q$ de $V$ au voisinage de $a$ et une fonction $f:\Omega \to {\rm I\!R}$, de classe $C^1$ au moins dans $\Omega$. Si $f\vert _V$ admet un extremum local en $a$, alors il existe des nombres $\lambda_i$ tels que

$${\rm grad}_af=\sum_{i=1}^q\lambda_i{\rm grad}_a F^i.$$

Supposons que $f\vert _V$ admette un extremum local en $a$. Nous allons voir que ${\rm grad}_af$ est alors orthogonal à $\overrightarrow{T_aV}$ ce qui nous permettra de conclure puisque les ${\rm grad}_aF^i$ forment une base de $\overrightarrow{T_aV}^\perp$. Soient $h\in \overrightarrow{T_aV}$ et une courbe $(I,\gamma)$ tracée sur $V$, passant par a et tangente à $h$ en $t=t_0$. La fonction $t\mapsto f\circ\gamma(t)$ admet un extremum local en $t=t_0$. Par conséquent, sa dérivée en $t=t_0$ est nulle. Donc

$${\rm grad}_af.h=f_{*a}h={\frac{d{f\circ\gamma}}{dt}}\vert _{t=t_0}=0.$$

$\qedsymbol$

Voici quelques exemples d'utilisation de ce résultat appelé règle des multiplicateurs de Lagrange.