5.3.3 Les lois de l'optique géométrique

Nous supposons que la lumière se déplace en minimisant le temps de parcours et que, de plus, dans un milieux homogène, sa vitesse est constante. Dans un tel milieu, ses trajectoires sont donc des segments de droite(^5.14). La question est de savoir comment est modifiée sa trajectoire lorsqu'elle traverse la surface $\Sigma$ séparant deux milieux dans lesquels elle circule à des vitesses différentes (lois de la réfraction) ou lorsqu'elle se réfléchit en un point de $\Sigma$ (lois de la réflexion). Dans le premier cas, un rayon lumineux issu d'une source ponctuelle $s$ placée dans le premier milieu traverse $\Sigma$ en $a$ et poursuit sa trajectoire jusqu'en un point cible $c$ du second. Dans le second, $a$ est le point en lequel le rayon se réfléchit vers la cible et celle-ci est dans le même milieu que la source. Nous supposons que $\Sigma$ est une variété plongée (dans ${\rm I\!R}^3$) et nous notons $F$ une équation cartésienne la définissant dans un voisinage du point d'incidence $a$.

Dans l'un et l'autre des cas, le temps mis pour joindre $s$ et $c$ via un point $x\in\Sigma$ est

$$t(x)=\frac{1}{v_1}\vert sx\vert+\frac{1}{v_2}\vert xc\vert,$$

où $v_1$ est la vitesse de la lumière avant l'incidence et $v_2$ après (on a donc $v_1=v_2$ en cas de réflexion). Par hypothèse, $t\vert _\Sigma$ est stationnaire en $a$. par conséquent, d'après la règle des multiplicateurs de Lagrange, il existe un nombre $\lambda$ tels que

$${\rm grad}_at=\lambda{\rm grad}_aF.$$

Ceci s'écrit

$$\frac{1}{v_1}\frac{\overrightarrow{s... ...\frac{1}{v_2}\frac{\overrightarrow{xc}}{\vert xc\vert}-\lambda{\rm grad}_aF=0.$$

Comme ${\rm grad}_aF$ est la direction normale au plan tangent de $\Sigma$ en $a$, nous en déduisons la première loi:

Le rayon incident ($sa$), le rayon réfracté (ou réfléchi, $ac$) et la normale au point d'incidence à la surface de séparation (au miroir, $\Sigma$) sont dans un même plan.

Ce plan coupe le plan tangent à la surface $\Sigma$ selon une droite. En projettant scalairement l'égalité précédente sur le vecteur unité normé $u$ de celle-ci orienté dans le sens de déplacement de la lumière, on obtient la seconde loi:

Les angles d'incidence et de réflexion sont égaux tandis que les sinus des angles de réfraction et d'incidence sont dans le rapport des vitesses de propagation dans les milieux successivement traversés:

$$\frac{\sin r}{\sin i}=\frac{v_2}{v_1}.$$

(Les angles d'incidence, etc. sont ceux que font les rayons correspondants avec la normale de $\Sigma$ au point d'incidence.)