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1.2.5 Gradient

Si la fonction % latex2html id marker 16611
$ f:\omega\subset{\rm I\!R}^m \to {\rm I\!R}$ est différentiable en $ a\in\omega$, on note généralement $ df_a$ son application linéaire tangente $ f_{*a}$. De plus, en profitant du produit scalaire $ (x,y)\mapsto x.y$ de % latex2html id marker 16621
$ {\rm I\!R}^m$, on peut trouver un unique élément % latex2html id marker 16623
$ u\in{\rm I\!R}^m$ tel que, pour tout % latex2html id marker 16625
$ h\in{\rm I\!R}^m$,

$\displaystyle f_{*a}h=u.h
$

Le vecteur $ u$ est appelé gradient de $ f$ en $ a$. On le note % latex2html id marker 16635
$ {{\rm grad}}_a f$. C'est le vecteur de composantes $ (\partial_1f(a),\ldots,\partial_mf(a))$.
On utilise ici la mise en dualité résultant du produit scalaire de % latex2html id marker 16639
$ {\rm I\!R}^m$. En général, si $ E,F$ sont des espaces vectoriels, disons sur % latex2html id marker 16643
$ {\rm I\!R}$, une application bilinéaire % latex2html id marker 16645
$ {\frak b:E\times F\to {\rm I\!R}}$ peut être regardée comme une application linéaire $ \flat:E\to F^*$ de $ E$ dans le dual de $ F$. Par définition,

% latex2html id marker 16653
$\displaystyle \forall x\in E, \ \ x^\flat:y\in F\mapsto {\frak b}(x,y)\in{\rm I\!R}
$

Si cette application est injective, on dit que $ \frak b$ est non dégénéré. Si, de plus, $ E$ et $ F$ sont de même dimension (finie), alors $ \flat$ est une bijection linéaire dont la réciproque est souvent notée $ \sharp: \xi\in F^*\mapsto \xi^\sharp\in E$. Dans notre cas, $ \frak b$ est le produit scalaire de % latex2html id marker 16667
$ {\rm I\!R}^m$, $ df_a$, application linéaire de % latex2html id marker 16671
$ {\rm I\!R}^m$ dans % latex2html id marker 16673
$ {\rm I\!R}$, est un élément de % latex2html id marker 16675
$ {\rm I\!R}^{m*}$et

% latex2html id marker 16677
$\displaystyle {\rm grad}_af=(df_a)^\sharp
$

C'est parce que la base canonique de % latex2html id marker 16679
$ {\rm I\!R}^m$ est orthonormée que l'expression ci-dessus du gradient est si simple.


En utilisant les opérations matricielles, le produit scalaire canonique de % latex2html id marker 16681
$ gl(p,{\rm I\!R})\cong {\rm I\!R}^{p^2}$ s'écrit % latex2html id marker 16683
$ A.B={\rm tr}(\tilde{A}B)$. Vu le Lemme 4, le gradient de la fonction % latex2html id marker 16685
$ \det:gl(p,{\rm I\!R})\to{\rm I\!R}$ est donc donné par % latex2html id marker 16687
$ {{\rm grad}}_A\det={\mathcal A}$. Lorsque $ A$ est non singulier, il vaut encore $ \det(A)\tilde{A}^{-1}$.


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