On utilise ici la mise en dualité résultant du produit scalaire de . En général, si sont des espaces vectoriels, disons sur , une application bilinéaire peut être regardée comme une application linéaire de dans le dual de . Par définition,
Si cette application est injective, on dit que est non dégénéré. Si, de plus, et sont de même dimension (finie), alors est une bijection linéaire dont la réciproque est souvent notée . Dans notre cas, est le produit scalaire de , , application linéaire de dans , est un élément de et
C'est parce que la base canonique de est orthonormée que l'expression ci-dessus du gradient est si simple.
En utilisant les opérations matricielles, le produit scalaire canonique de
s'écrit
. Vu le Lemme 4, le gradient de la fonction
est donc donné par
. Lorsque est non singulier, il vaut encore
.