1.2.5 Gradient

Si la fonction $f:\omega\subset{\rm I\!R}^m \to {\rm I\!R}$ est différentiable en $a\in\omega$, on note généralement $df_a$ son application linéaire tangente $f_{*a}$. De plus, en profitant du produit scalaire $(x,y)\mapsto x.y$ de ${\rm I\!R}^m$, on peut trouver un unique élément $u\in{\rm I\!R}^m$ tel que, pour tout $h\in{\rm I\!R}^m$,

$$f_{*a}h=u.h$$

Le vecteur $u$ est appelé gradient de $f$ en $a$. On le note ${{\rm grad}}_a f$. C'est le vecteur de composantes $(\partial_1f(a),\ldots,\partial_mf(a))$.

On utilise ici la mise en dualité résultant du produit scalaire de ${\rm I\!R}^m$. En général, si $E,F$ sont des espaces vectoriels, disons sur ${\rm I\!R}$, une application bilinéaire ${\frak b:E\times F\to {\rm I\!R}}$ peut être regardée comme une application linéaire $\flat:E\to F^*$ de $E$ dans le dual de $F$. Par définition,

$$\forall x\in E, \ \ x^\flat:y\in F\mapsto {\frak b}(x,y)\in{\rm I\!R}$$

Si cette application est injective, on dit que $\frak b$ est non dégénéré. Si, de plus, $E$ et $F$ sont de même dimension (finie), alors $\flat$ est une bijection linéaire dont la réciproque est souvent notée $\sharp: \xi\in F^*\mapsto \xi^\sharp\in E$. Dans notre cas, $\frak b$ est le produit scalaire de ${\rm I\!R}^m$, $df_a$, application linéaire de ${\rm I\!R}^m$ dans ${\rm I\!R}$, est un élément de ${\rm I\!R}^{m*}$et

$${\rm grad}_af=(df_a)^\sharp$$

C'est parce que la base canonique de ${\rm I\!R}^m$ est orthonormée que l'expression ci-dessus du gradient est si simple.

En utilisant les opérations matricielles, le produit scalaire canonique de $gl(p,{\rm I\!R})\cong {\rm I\!R}^{p^2}$ s'écrit $A.B={\rm tr}(\tilde{A}B)$. Vu le Lemme 4, le gradient de la fonction $\det:gl(p,{\rm I\!R})\to{\rm I\!R}$ est donc donné par ${{\rm grad}}_A\det={\mathcal A}$. Lorsque $A$ est non singulier, il vaut encore $\det(A)\tilde{A}^{-1}$.