7.3.3 Convexité & hessien

Lorsque la fonction $f$ est de classe $C^2$ au moins, son développement de Taylor avec reste intégral prend la forme

$$f(x+h)=f(x)+\sum h^i(\partial_if)(x)+\int_0^1dt\int_0^tds\ Hess_f(x+sh)(h,h)$$ (7.2)

où le hessien $Hess_f(x)$ de $f$ est l'application bilinéaire symétrique

$$Hess_f(x):h, k\mapsto \sum h^ik^j(\partial_{ij}f)(x).$$

Proposition 69   Si $dom f$ est un ouvert convexe dans lequel $f$ est de classe $C^k, k\geq 2$, alors $f$ est convexe si et seulement si les formes bilinéaires $Hess_f(x), x\in dom f,$ sont semi-définies positives.

Supposons que les formes bilinéaires considérées soient semi-définies positives. La condition (18) est alors vérifiée (pour le voir, on pose $h=y-x$ et on utilise (19); l'intégrale y est positive) et $f$ est convexe. Inversement, supposons que $f$ soit convexe, donc que (18) soit vérifié. Il résulte alors de (19), dans lequel on remplace $h$ par $uh, u\in [0,1],$ que

$$\int_0^1dt\int_0^tds\ Hess_f(x+suh)(h,h)\geq 0.$$

En laissant tendre $u$ vers 0, on en déduit que

$$Hess_f(x)(h,h)\geq 0.$$

Le point $x\in dom f$ étant donné, ceci vaut pour les $h$ pour lesquels $x+h\in dom f$. Comme $dom f$ est ouvert, cela vaut donc pour tous les $h$ de longueur assez petite. Mais cette inégalité restant vraie quand on multiplie $h$ par un nombre, elle l'est donc finalement pour tout $h$.$\qedsymbol$

On retrouve en particulier l'étude de la concavité d'une fonction d'une variable réelle car, lorsque $m=1$, $Hess_f(x)(h,h)=f''(x)h^2$. On voit ainsi que $f$ est convexe si et seulement si $f''$ est partout positif ou nul. Par exemple, $x\mapsto e^x$ est convexe. L'inégalité de Jensen donne alors

$$e^{\sum\alpha_ix_i}\leq \sum\alpha_ie^{x_i}.$$

Les nombres positifs $u_i=e^{x_i}$ étant arbitraires, ceci se lit encore

$$\prod u_i^{\alpha_i}\leq \sum\alpha_iu_i.$$

Lorsque les $\alpha_i$ sont égaux, c'est l'inégalité entre la moyenne géométrique et la moyenne arithmétique obtenue plus haut par la méthode de Lagrange.