3.2.3 Le groupe unimodulaire

C'est par définition le sous-groupe $SL(p,{\rm I\!R})$ de $GL(p,{\rm I\!R})$ formé des matrices de déterminant égal à $1$. On l'appelle aussi le groupe linéaire spécial. Il est constitué des transformations linéaires de ${\rm I\!R}^p$ qui conservent la mesure de Lebesgues (^3.5).

La fonction $\det:GL(p,{\rm I\!R})\to{\rm I\!R}$ est une équation cartésienne de $SL(p,{\rm I\!R})$. En effet, ${\rm grad}_A\det=\tilde{A}^{-1}$ lorsque $\det A=1$. Par conséquent, $SL(p,{\rm I\!R})$ est une variété plongée dans $gl(p,{\rm I\!R})$, de dimension $p^2-1$.