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Pour compléter la description locale de
l'hypersurface , il nous faut encore choisir une normale, au moins dans le
voisinage
du point dans lequel nous l'étudions.
Dans la suite, nous supposerons disposer d'une fonction associant
de façon
continue à tout
un élément
normal en
à (6.12).
Il y a toujours deux choix possibles de vecteur normé perpendiculaire
à
, opposés l'un à l'autre.
Par commoditié, nous supposerons que est donné par
lorsque nous l'exprimerons à l'aide du paramétrage et nous
choisirons
lorsque nous aurons à le prolonger en une fonction dérivable dans un
voisinage de , ouvert dans
.
Par exemple, pour une quadrique sans point double , d'équation
,
tandis que pour
,
|
(6.6) |
Lorsqu'il est possible de définir sur tout , on dit que
est orientable.
L'application s'appelle alors l'application de Gauss de
.
En dérivant , nous pourrons nous faire une idée de la manière dont
il varie au voisinage d'un point, et donc appréhender la courbure de
.
Comme n'est défini que sur un ouvert de , il faut
préciser comment il est possible de le dériver.
Soient
et une courbe
tracée sur
, tangente à en . Le lemme suivant montre que
est bien défini, qu'il est linéaire en et indique comment le
calculer au moyen de ou d'un prolongement de à un
voisinage de dans
.
Notons
les composantes de
selon la base
de
et
ses composantes dans la
base canonique de
. Comme indiqué plus haut, se factorise via
: il existe une courbe
de , définie au
voisinage de 0 et telle que
. On a alors
.
Lemme 48
On a
où, dans la seconde somme,
est supposé défini dans un voisinage
de
dans
.
C'est, dans les deux cas, une application immédiate du théorème
de dérivation des fonctions composées.
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