next up previous contents
suivant: 6.2.2 Equations de structure monter: 6.2 La seconde forme précédent: 6.2 La seconde forme   Table des matières

6.2.1 Normale

Pour compléter la description locale de l'hypersurface $ \Sigma$, il nous faut encore choisir une normale, au moins dans le voisinage $ \varphi(U)$ du point $ a$ dans lequel nous l'étudions. Dans la suite, nous supposerons disposer d'une fonction $ N$ associant de façon continue à tout $ x\in\varphi(U)$ un élément $ N_x\in S^m$ normal en $ x$ à $ \Sigma$ (6.12). Il y a toujours deux choix possibles de vecteur normé perpendiculaire à $ \overrightarrow{T_x\Sigma}$, opposés l'un à l'autre. Par commoditié, nous supposerons que $ N$ est donné par

$\displaystyle N\circ\varphi=
\frac{\partial_1\varphi\wedge\cdots\wedge\partial_m\varphi}{\vert\partial_1\varphi\wedge\cdots\wedge\partial_m\varphi\vert}
$

lorsque nous l'exprimerons à l'aide du paramétrage $ \varphi$ et nous choisirons

% latex2html id marker 20962
$\displaystyle N=\frac{{\rm grad}F}{\vert{\rm grad}F\vert}
$

lorsque nous aurons à le prolonger en une fonction dérivable dans un voisinage de $ a$, ouvert dans % latex2html id marker 20966
$ {\rm I\!R}^{m+1}$.

Par exemple, pour une quadrique sans point double $ Q$, d'équation $ F(x)=Ax.x+2b.x+c$,

$\displaystyle N_a=\frac{Aa+b}{\vert Aa+b\vert}
$

tandis que pour % latex2html id marker 20974
$ SL(p,{\rm I\!R})$,

% latex2html id marker 20976
$\displaystyle N_A=\frac{\tilde{A}^{-1}}{\sqrt{{\rm tr}(\tilde{A}A)^{-1}}}\cdot$ (6.6)

Lorsqu'il est possible de définir $ N$ sur tout $ \Sigma$, on dit que $ \Sigma$ est orientable. L'application $ N$ s'appelle alors l'application de Gauss de $ \Sigma$.

En dérivant $ N$, nous pourrons nous faire une idée de la manière dont il varie au voisinage d'un point, et donc appréhender la courbure de $ \Sigma$. Comme $ N$ n'est défini que sur un ouvert de $ \Sigma$, il faut préciser comment il est possible de le dériver.

Soient $ h\in\overrightarrow{T_a\Sigma}$ et une courbe $ (I,\gamma)$ tracée sur $ \Sigma$, tangente à $ h$ en $ t=0$. Le lemme suivant montre que

$\displaystyle N_{*a}h={\frac{d{N\circ\gamma}}{dt}}\vert _{t=0}
$

est bien défini, qu'il est linéaire en $ h$ et indique comment le calculer au moyen de $ \varphi$ ou d'un prolongement de $ N$ à un voisinage de $ a$ dans % latex2html id marker 21016
$ {\rm I\!R}^{m+1}$.

Notons $ (\lambda^1,\ldots,\lambda^m)$ les composantes de $ h$ selon la base $ (\partial_i\varphi, i\leq m)$ de $ \overrightarrow{T_a\Sigma}$ et $ (h^1,\ldots,h^{m+1})$ ses composantes dans la base canonique de % latex2html id marker 21028
$ {\rm I\!R}^{m+1}$. Comme indiqué plus haut, $ \gamma$ se factorise via $ \varphi$: il existe une courbe $ t\mapsto u(t)$ de $ U$, définie au voisinage de 0 et telle que $ \gamma=\varphi\circ u$. On a alors $ \lambda^i={\frac{d{u^i}}{dt}}\vert _{t=0}$.

Lemme 48   On a

$\displaystyle N_{*a}h=
\sum_{i=1}^{m}\lambda^i\frac{\partial(N\circ\varphi)}{\partial
u^i}=\sum_{j=1}^{m+1}h^j\frac{\partial N}{\partial x^j}
$

où, dans la seconde somme, $ N$ est supposé défini dans un voisinage de $ a$ dans % latex2html id marker 21050
$ {\rm I\!R}^{m+1}$.

C'est, dans les deux cas, une application immédiate du théorème de dérivation des fonctions composées.$ \qedsymbol$
next up previous contents
suivant: 6.2.2 Equations de structure monter: 6.2 La seconde forme précédent: 6.2 La seconde forme   Table des matières