6.2.1 Normale

Pour compléter la description locale de l'hypersurface $\Sigma$, il nous faut encore choisir une normale, au moins dans le voisinage $\varphi(U)$ du point $a$ dans lequel nous l'étudions. Dans la suite, nous supposerons disposer d'une fonction $N$ associant de façon continue à tout $x\in\varphi(U)$ un élément $N_x\in S^m$ normal en $x$ à $\Sigma$ (^6.12). Il y a toujours deux choix possibles de vecteur normé perpendiculaire à $\overrightarrow{T_x\Sigma}$, opposés l'un à l'autre. Par commoditié, nous supposerons que $N$ est donné par

$$N\circ\varphi= \frac{\partial_1\varphi\wedge\cdots\wedge\partial_m\varphi}{\vert\partial_1\varphi\wedge\cdots\wedge\partial_m\varphi\vert}$$

lorsque nous l'exprimerons à l'aide du paramétrage $\varphi$ et nous choisirons

$$N=\frac{{\rm grad}F}{\vert{\rm grad}F\vert}$$

lorsque nous aurons à le prolonger en une fonction dérivable dans un voisinage de $a$, ouvert dans ${\rm I\!R}^{m+1}$.

Par exemple, pour une quadrique sans point double $Q$, d'équation $F(x)=Ax.x+2b.x+c$,

$$N_a=\frac{Aa+b}{\vert Aa+b\vert}$$

tandis que pour $SL(p,{\rm I\!R})$,

$$N_A=\frac{\tilde{A}^{-1}}{\sqrt{{\rm tr}(\tilde{A}A)^{-1}}}\cdot$$ (6.6)

Lorsqu'il est possible de définir $N$ sur tout $\Sigma$, on dit que $\Sigma$ est orientable. L'application $N$ s'appelle alors l'application de Gauss de $\Sigma$.

En dérivant $N$, nous pourrons nous faire une idée de la manière dont il varie au voisinage d'un point, et donc appréhender la courbure de $\Sigma$. Comme $N$ n'est défini que sur un ouvert de $\Sigma$, il faut préciser comment il est possible de le dériver.

Soient $h\in\overrightarrow{T_a\Sigma}$ et une courbe $(I,\gamma)$ tracée sur $\Sigma$, tangente à $h$ en $t=0$. Le lemme suivant montre que

$$N_{*a}h={\frac{d{N\circ\gamma}}{dt}}\vert _{t=0}$$

est bien défini, qu'il est linéaire en $h$ et indique comment le calculer au moyen de $\varphi$ ou d'un prolongement de $N$ à un voisinage de $a$ dans ${\rm I\!R}^{m+1}$.

Notons $(\lambda^1,\ldots,\lambda^m)$ les composantes de $h$ selon la base $(\partial_i\varphi, i\leq m)$ de $\overrightarrow{T_a\Sigma}$ et $(h^1,\ldots,h^{m+1})$ ses composantes dans la base canonique de ${\rm I\!R}^{m+1}$. Comme indiqué plus haut, $\gamma$ se factorise via $\varphi$: il existe une courbe $t\mapsto u(t)$ de $U$, définie au voisinage de 0 et telle que $\gamma=\varphi\circ u$. On a alors $\lambda^i={\frac{d{u^i}}{dt}}\vert _{t=0}$.

Lemme 48   On a

$$N_{*a}h= \sum_{i=1}^{m}\lambda^i\frac{\partial(N\circ\varphi)}{\partial u^i}=\sum_{j=1}^{m+1}h^j\frac{\partial N}{\partial x^j}$$

où, dans la seconde somme, $N$ est supposé défini dans un voisinage de $a$ dans ${\rm I\!R}^{m+1}$.

C'est, dans les deux cas, une application immédiate du théorème de dérivation des fonctions composées.$\qedsymbol$