5.3.2 Fonctions homogènes

Soit une fonction $f$ homogène de poids $s$ (^5.12) . Si elle est continue, il existe des nombre $K$ et $L$ tels que

$$\forall x\in{\rm I\!R}^m\setminus\{0\}: K\vert x\vert^s\leq f(x)\leq L\vert x\vert^s.$$

En effet, $f$ est alors borné sur $S^{m-1}$, disons par $K$ et $L$. Par homogénéité, si $x\neq 0$, on peut donc écrire

$$K\vert x\vert^s\leq f(x)=\vert x\vert^sf(\frac{x}{\vert x\vert})\leq L\vert x\vert^s.$$