A.1 Introduction

On présente ici quelques observations sur les densités sur les espaces vectoriels. Un des buts est de montrer que chaque produit salaire de l'espace induit de façon naturelle une densité positive de poids 1 sur cet espace, et donc sur tous ses sous-espaces, le produit scalaire donnant par restriction un produit scalaire sur chaque sous-espace. De plus, on tente d'expliquer comment la notion de densité est liée à celle d'intégration. En particulier, ceci devrait faire voir comment le produit scalaire canonique induit de façon naturelle une notion d'élément de volume sur chaque variété plongée dans ${\rm I\!R}^m$, via les densités définies par le produit scalaire sur chaque espace tangent à la variété.

Pour simplifier, nous considérerons des espaces de dimension finie sur ${\rm I\!R}$. Dans la suite, $E$ désignera un tel espace et sa dimension sera notée $m$.