6.2.3 Le théorème de Meusnier

La normale ${\bf n}$ en $a$ à un arc de courbe $\Gamma$ tracé sur $\Sigma$(^6.13) forme avec $N_a$ un angle non orienté $\theta$. On peut calculer cet angle avec les formes fondamentales.

Théorème 50   (Meusnier) Si $h\in\overrightarrow{T_a\Sigma}\setminus\{0\}$ est tangent à un arc régulier de courbe $\Gamma$ tracé sur $\Sigma$ dont la normale principale en $a$ fait un angle non orienté $\theta$ avec $N_a$, alors

$$\kappa\cos\theta \ g_a(h,h)=\varpi_a(h,h),$$

où $\kappa$ est la courbure de $\Gamma$ en $a$.

Paramétrons $\Gamma$ par l'abscisse curviligne $s$ comptée par exemple à partir de $a$. En supposant que $a\in U$, on peut supposer le paramétrage de la forme $\gamma=\varphi\circ\xi$. La tangente unitaire ${\bf t}$ associée à $\gamma$ est $\dot{\gamma}$. Sa dérivée $\kappa{\bf n}$ est donnée par (13). En se plaçant en $s=0$ et en prenant le produit scalaire des deux membres de cette égalité par $N_a$, il vient

$$\kappa\cos\theta =\sum_i\dot{\xi}^i\dot{\xi}^j\varpi_a(\partial_i\varphi,\partial_j\varphi)=\varpi_a({\bf t},{\bf t})$$

Tout vecteur $h\neq {\bf0}$ tangent à $\Gamma$ en $a$ est multiple de ${\bf t}$ si bien que

$$\varpi_a({\bf t},{\bf t})=\frac{\varpi_a(h,h)}{g_a(h,h)}$$

$\qedsymbol$