... ouvertes(^1.1

Pour ne pas alourdir les notations, on ne mentionne pas explicitement la dimension $n$ dans l'écriture ci-dessous. Le contexte devrait normalement lever l'ambiguïté qui pourrait résulter de cette convention.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

...(^1.2

Cette propriété sert souvent définition des fermés de ${\rm I\!R}^n$.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

...(^1.3

On rappelle que pour tout ensemble $X$, ${\bf 2}^X$ désigne l'ensemble des parties de $X$: $A\in{\bf 2}^X$ équivaut donc à $A\subset X$. Ainsi, si ${\mathcal T}$ est une topologie sur $X$, alors on peut écrire ${\mathcal T}\subset {\bf 2}^X$

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... réels(^1.4

C'est une notation classique.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

...(^1.5

On les appelle les fonctions invariantes élémentaires car tout polynôme (et même toute fonction de classe $C^\infty$) invariant défini sur $gl(p,{\rm I\!R})$ est un polynôme (une fonction de même classe, respectivement) en ces fonctions

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

...(^2.1

Le nombre $k$ n'est pas précisé. C'est un entier positif. Il détermine la classe du paramétrage. Pratiquement, nous n'aurons affaire qu'à des paramétrage de classe $C^\infty$.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... (^2.2

Ceci assure que le rang de $\varphi\circ\theta$ soit le bon mais aussi que $\theta^{-1}$, et donc $(\varphi\circ\theta)^{-1}$, soit continu.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... intervalles(^2.3

Ceci n'est pas tout à fait immédiat.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

...(^2.4

La notation $GL(p,{\rm I\!R})$ désigne le sous-ensemble de $gl(p,{\rm I\!R})$ formé des matrices non singulières. Cet ensemble est un ouvert de $gl(p,{\rm I\!R})$.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... quadriques(^3.1

Par exemple, nous nous limiterons à une classification affine.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

...(^3.2

C'est un changement de coordonnées supplémentaire...

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... matricielle(^3.3

C'est même un groupe de Lie dans la mesure où cette multiplication et le passage à l'inverse sont des applications de classe $C^{\infty}$.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... notes(^3.4

Il s'agit d'une version faible du résultat de E. Cartan. Le théorème général affirme que tout sous-groupe fermé d'un groupe de Lie à base dénombrable en est un sous-groupe de Lie plongé.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... (^3.5

Pour rappel, l'effet d'un changement de variables sur une intégrale consiste à multiplier l'intégrand par la valeur absolue du Jacobien du changement de variables.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

...(^3.6

$A^{*}$ désigne la matrice conjuguée et transposée de $A$

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

...(^4.1

L'espace projectif réel de dimension $m$ est l'ensemble ${\rm I\!P}^m{\rm I\!R}$ des droites vectorielles de ${\rm I\!R}^{m+1}$. C'est une variété au sens de la géométrie différentielle abstraite mais il n'est pas facile, en général, de le réaliser comme variété plongée dans un espace euclidien.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

...(^5.1

On dit alors que $\gamma$ est une courbe de ou tracée sur $V$ et passant par $a$ en $t=s$.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

...$($^5.2

Remarquons que cette équation est identiquement nulle lorsque $a$ est un point double de $Q$.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

...(^5.3

X est de classe $C^{\infty}$ en $t$ et $H$ et dépend de ceux-ci par l'intermédiaire de leur produit.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

...(^5.4

Bien noter que cette propriété ne s'étend pas à des "exposants" non proportionnels: en général, $e^Ae^B\neq e^{A+B}$.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

...(^5.5

Nous supposons $G$ de classe $C^{\infty}$. C'est le cas des exemples donnés plus haut mais on peut montrer que c'est en fait toujours le cas.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

...(^5.6

$H$ étant un vecteur tangent à $G$ en ${\bf 1}$, il est dans l'image de $\varphi_{*u_0}$.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... $\varphi_{*u}(g_u)_{*u_0}\varphi^{-1}_{*u_0}H.($^5.7

On aimerait écrire que cette dernière expression est égale à $(&phiv#varphi;&cir#circ;g_u&cir#circ;&phiv#varphi;^-1)_*u_0H$. C'est exact mais nous n'en n'avons pas les moyens. En effet, il faudrait pour cela savoir prendre l'application linéaire tangente de $&phiv#varphi;^-1$ qui n'est cependant pas défini dans un ouvert de $ I&negsp;R^m$. En fait $&phiv#varphi;^-1$ est un exemple d'application différentiable entre variétés plongées, notion que nous n'aborderons pas ici.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... par(^5.8

Ceci se voit sans difficulté en calculant explicitement le produit $\varphi((x,y,z))\varphi((u,v,w))$.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... forme(^5.9

Lorsque la dimension de $H$ est $p$, l'exponentielle de $H$ peut toujours être exprimée comme combinaison linéaires des puissances $H^i, i=0,\ldots,p-1$, de $H$. Cela résulte du fait que $H$ annule son polynôme caractéristisque

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... (^5.10

Dans un produit cartésien, le crochet de Lie est défini composante à composante.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... (^5.11

La matrice $A\tilde{A}$ est non singulière car $A$ est de rang $m-p$.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... (^5.12

Cela signifie que $f(tx)=t^s f(x)$ pour tout $t\in{\rm I\!R}\setminus\{ 0 \}$ et tout $x$ appartenant au domaine de $f$, que nous supposerons être ${\rm I\!R}^m\setminus\{0\}$.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... (^5.13

Cette inégalité classique est plus simple à démontrer grâce aux fonctions convexes.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... droite(^5.14

En admettant que dans un espace euclidien la droite minimise la distance entre deux points quelconques, ce que nous n'avons pas établi ici.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

...(^5.15

Nous ne donnerons pas la démonstration de ce fait, qui relève de l'analyse.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

...(^5.16

comprendre: pour toute valeur de $\lambda$

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

...(^5.17

Elle n'est définie que dans l'ensemble des $t$ en lesquels ${\bf a}'(t)\ne{\bf 0}$. Ce n'est pas nécessairement un arc régulier de courbe.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

...(^6.1

Les dérivées sont calculées en le point $u\in U$ tel que $a=\varphi(u)$.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... angles(^6.2

Le lecteur est invité à le vérifier.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... (^6.3

C'est ici une écriture symbolique; elle s'interprète de façon tout à fait rigoureuse en termes de tenseurs symétriques covariants, notions que nous n'étudions pas dans ce texte.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

...(^6.4

L'unicité n'est garantie que pour les géodésiques maximales, c'est-à-dire définies sur un intervalle $I$ maximal.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... métrique(^6.5

La topologie d'espace métrique d'un ensemble muni d'une distance $d$ est celle dont les ouverts sont les unions de boules ouvertes de $d$.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... demandée(^6.6

Pour rappel, si $A$ est un intervalle ouvert de ${\rm I\!R}$ de longueur au plus $2\pi$, alors

$$u\to (\cos u,\sin u)$$

est un homéomorphisme de $A$ sur son image.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... donc(^6.7

Pour la notion de mesure dans un espace vectoriel ou affine, voir l'annexe.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

...(^6.8

Le volume de celui-ci est $1/n!$ fois celui du parallélépipède construit sur les mêmes vecteurs.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

...(^6.9

C'est donc la valeur absolue de leur produit mixte défini dans cet hyperplan par une quelconque de ses orientations.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

...(^6.10

L'annexe en fin de texte présente d'autres arguments. On y explique entre autre les liens entre la notion d'élément de surface et de densité.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... cylindre(^6.11

En effet, la longueur d'un arc de cercle de rayon $r$ vu sous un angle $u$ depuis le centre est $ru$, pour autant que l'angle soit mesuré en radians.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... (^6.12

$S^m$ est la sphère de centre 0 et de rayon $1$

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

...(^6.13

La normale principale ${\bf n}$ et la courbure $\kappa$ d'un arc régulier de courbe de ${\rm I\!R}^m$ sont définis comme dans le cas des courbes de ${\rm I\!R}^3$ par la formule $\dot {\bf t}=\kappa{\bf n}$, ${\bf t}$ étant la normale unitaire définie par un paramétrage de l'arc par une abscisse curviligne.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... (^6.14

Pour les surfaces plongées dans ${\rm I\!R}^3$, c'est un théorème dû à Gauss.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... (^7.1

Ouverte ou fermée, cela ne change essentiellement rien dans ce qui va suivre.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

...(^7.2

En fait, on peut montrer que c'est un polynôme de degré $m$ dans $[0,+\infty[$

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... (^7.3

Par exemple si l'intéreur de $e$ n'est pas vide.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... (^7.4

Si $e$ est inclus dans $\alpha$, n'importe quelle normale à celui-ci fait l'affaire. Du reste, il est alors évident que $h$ est parallèle à $\alpha$.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... (^7.5

Un homéomorphisme est une bijection continue dont la réciproque est continue. En topologie, on ne distingue pas deux espaces qui sont homéomorphes.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... (^7.6

Ce qui suffit: si $t_k$ ne converge pas vers $t$, il admet une sous-suite dont les éléments sont à une distance de $t$ qui n'est pas inférieur à un certain $\epsilon > 0$. On ne saurait extraire de celle-ci une sous-suite convergeant vers $t$.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

...(^7.7

Dans l'enseignement secondaire, on dit de $f$ qu'il tourne sa concavité ``vers le haut''.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

...(^7.8

La combinaison $\sum\alpha_ix_i$ est alors dite convexe.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... que(^7.9

Les dérivées partielles sont calculées en $x\in dom f$

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... pointe(^7.10

Cela veut dire que $(x,f(x))+{\bf n}_x\in D_x$.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

...(^7.11

Appliquer de nouveau le théorème de Lebesgue après avoir constaté que les fonctions caractéristiques des ensembles considérés convergent vers celles de $A$, $B$ et de leur somme.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.